Роль и место математики в современном мире. Пределы. Свойства пределов. Тема 1.1

План:
1. Роль и место математики в современном мире.
2. Последовательности.
3. Определение предела последовательности.
4. Определение предела функции. Основные свойства пределов
5. Числовая функция.
6. Монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность функции.

1. Роль и место математики в современном мире.
Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках. Распространение математики вширь сопровождается ее проникновением в глубь; математика занимает теперь видное положение в жизни общества.
Математика умеет не только хорошо вычислять и тем самым позволять находить в нужных случаях требуемые цифровые данные, но предлагает весьма общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками.
Математическая модель не редко задается в виде особого «языка», предназначенном для описания тех или иных явлений. Именно так, в виде языка, возникли в XVIII в. дифференциальные и интегральные исчисления. Важнейшим примером математического языка служит «язык цифр».

2. Последовательности.
Опр. 1. Функцию вида у = f(x), называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f(n) или у1, у2, у3, ..., уn, ....
Иногда для обозначения последовательности используется запись (уn).
Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ....
Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.
Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.
1) уn = n2. Это аналитическое задание последовательности
1, 4, 9, 16, ..., n2, ....
Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.
2) уп = С. Здесь речь идет о последовательности C,C,C,…,C,…
Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).
3) уn = 2n. Это аналитическое задание последовательности
2,22, 23, 24, ...,2n, ....
Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (аn), заданная рекуррентно соотношениями
а1 = а, аn+1 = аn + d (а и d — заданные числа, d — разность арифметической прогрессии).
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (bn), заданная рекуррентно соотношениями.
b1=b, bn+1 = bnq (b и q — заданные числа, b≠0, q≠0, q — знаменатель геометрической прогрессии).

3. Определение предела последовательности.
Рассмотрим две числовые последовательности (уn) и (хn).
у(n): 1,3,5,7,9,…,2n-1,…;
х(n): 1,1/2,1/3,1/4,1/5,…,1/n… .
Изобразив члены этих последовательностей точками на координатной прямой.
Замечаем, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (уn) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn) расходится.

Опр. 6. Пусть а — точка прямой, а r — положительное число. Интервал (а - r; а + r) называют окрестностью точки а, а число r — радиусом окрестности.
Пример.
(5,98; 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.

Опр. 7. Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
И обозначают:

4. Определение предела функции. Основные свойства пределов
Опр. функция – это зависимость одной переменной от другой
Опр. 8. Число b называют пределом функции f(x), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены функции, начиная с некоторого номера.
И обозначают:

Вычисление пределов функции.
, если

Свойства пределов функции.
Если , , то
предел суммы равен сумме пределов:
предел произведения равен произведению пределов:

Свойства пределов функции.
предел частного равен частному от пределов:
постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Пример. Найти пределы функции.

Опр. 9. Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение

Пример. Найти пределы функции.
1.
2.