Сфера и шар

Окружность и круг
Окружностью называется
геометрическая фигура,
состоящая из всех точек плоскости,
расположенных на заданном
расстоянии r от данной точки.
r – радиус
d – диаметр
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек
пространства, расположенных на данном расстоянии (R)
от данной точки (центра т.О).
D
О
R – радиус сферы – отрезок,
соединяющий любую точку
сферы с центром.
D – диаметр сферы – отрезок,
соединяющий любые 2 точки
сферы и проходящий через центр.
т. О – центр сферы

Шар
Шаром называется тело, ограниченное сферой.
Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Уравнение окружности
О
С(х0;у0)
М(х;у)
Уравнение окружности:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2

Уравнение сферы
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz
z
х
у
М(х;у;z)
R
C(x0;y0;z0)
МС = (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2
МС = R
Следовательно, уравнение
сферы имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

Задача 1.
Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.
Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

Взаимное расположение окружности и прямой
Возможны 3 случая:
d
d
r
Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки.
d= r
Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.
Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Взаимное расположение сферы и плоскости
Введем прямоугольную систему координат Oxyz
Построим плоскость α, совпадающую с плоскостью Оху
Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0;d), где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .
В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

Взаимное расположение сферы и плоскости
r
М
1 случай:
d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r.
r = R2 - d2
Сечение шара плоскостью есть круг.

Взаимное расположение сферы и плоскости
2 случай:
d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим 3 случай:
d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Площадь сферы и объём шара
.
Площадь сферы радиуса R: Sсф=4πR2
Sшара=4 Sкруга

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите
радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Ответ: 12

В куб с ребром 3 вписан шар.
Найдите объем этого шара, деленный на π .
Ответ: 4,5

Около куба с ребром описан шар.
Найдите объем этого шара, деленный на π.
Ответ: 4,5

Радиусы двух шаров равны 6, 8.
Найдите радиус шара, площадь
поверхности которого
равна сумме площадей их поверхностей.
Ответ: 10

Объем шара равен 288π .
Найдите площадь его поверхности,
деленную на π .
Ответ: 144

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем конуса равен 6.
Найдите объем шара.
Ответ: 24

Куб вписан в шар радиуса √3.
Найдите объем куба.
Ответ: 8

Около конуса описана сфера
(сфера содержит окружность основания
конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса.
Образующая конуса равна 7√2.
Найдите радиус сферы.
Ответ: 7

Около конуса описана сфера (сфера
содержит окружность
основания конуса и его вершину).
Центр сферы находится в центре основания конуса.
Радиус сферы равен 28√2 .
Найдите образующую конуса.
Ответ: 56

Шар вписан в цилиндр.
Площадь поверхности шара равна 111.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Ответ: 166,5

Прямоугольный параллелепипед
описан около единичной сферы.
Найдите его площадь поверхности.
Ответ: 24

Конус вписан в шар. Радиус основания
конуса равен радиусу шара.
Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
Ответ: 7

Конус вписан в шар. Радиус основания
конуса равен радиусу шара.
Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Ответ: 24

Площадь большого круга шара равна 3.
Найдите площадь поверхности шара.
Ответ: 12

Во сколько раз увеличится площадь
поверхности шара, если радиус шара
увеличить в 2 раза?
Ответ: 4

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности
которого равна 18.
Найдите площадь поверхности шара.
Ответ: 12

Объем прямоугольного параллелепипеда,
описанного около сферы, равен 216.
Найдите радиус сферы.
Ответ: 3