Основы построения цифровых автоматов и систем анализа информационных процессов. Понятия СДНФ и СКНФ. Логико-вероятностное

Введение
Многие важные научные и технические направления, такие как геофизика, радио и гидролокация, метеорология, обработка изображений, аэро и гидродинамика, биология и медицина, искусственный интеллект и другие, уже не могут успешно развиваться , не используя компьютеры, методы научного анализа и информационного моделирования. Большинство алгоритмов решения вычислительных задач обладают высоким уровнем естественного параллелизма.
Основу архитектуры проблемно-ориентированной ЭВМ сегодня составляют разветвленные компоненты:
различные виды параллельных алгоритмов, числовая и логическая обработка информации (данных), структура данных, обработка одномерных и многомерных массивов.

Математическая ( символическая ) логика с развитием
вычислительной техники (ВТ) оказалась в тесной взаимосвязи с вычислительной математикой и оценивания параметров множества информационных процессов, со всеми их вопросами конструирования и программирования электронных вычислительных систем (ВС). Аппарат математической логики находит свое применение в вычислительной математике, в конструировании сложных автоматических устройств, в проектировании информационно-измерительных и управляющих систем (ИИУС), при синтезе релейно-контактных и электронных схем робототехнических систем (РбТС) и т. д.
Создание компьютеров стало возможным только тогда, когда нашли общую точку пересечения, совместились, наложились друг на друга различные теоретические положения великих ученых : Аристотель, Р. Декарт (1596 г.), Г. Лейбниц (1673г.), Дж.Буль (1848 г.), Герман Холлерит (1890 г.), Алан Тьюринг (1938 г.), Джон фон Нейман (1945 г.), А.А. Марков (Россия, 1903-1979 гг.) и многие другие ученые.

У истоков современной логики цифровых автоматов стоит Г. Лейбниц ( из Германии, 1646-1716 гг. ), выдвинувший идею представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Он же обосновал необходимость создания универсального логического языка, который, в отличие от естественного языка, мог бы точно и одновременно выражать различные понятия и отношения.
Лейбниц разработал «своего рода» алгебру человеческого мышления, позволяющую получать из уже известных истин новые истины
путем точных вычислений.

Решающий шаг в области математической логики был сделан Дж. Булем (1815-1864) – алгебры логики (1847). Алгебра логики явилась исходным пунктом для развития теории алгоритмов .
Отметим, что информационный процесс является центральным алгоритмическим составным элементов любых создаваемых информационных систем (ИС).
Алгоритмизация информационного процесса основана на знаниях вычислительных систем (ВС) и их математического обеспечения.
В практическую основу большинства ВС была положена АЛГЕБРА ДЖ.БУЛЯ (АЛГЕБРА 2-Х ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ {0;1}

Одна из главных составных частей цифровой ВС – это арифметико-логическое устройство (АЛУ). В основу АЛУ положена работа сумматора сложения чисел x и y. Кроме обычных арифметических операций сумматор может выполнять и вспомогательные операции — сдвиг, обращение кода числа и др. (На рис. показана схема сумматора на три входа)

Архитектура ЭВМ
Следует отметить, что в архитектуре нашей отечественной супермашины ВС БЭСМ-6 впервые были предложены принципы распараллеливания вычислительного процесса за счет аппаратных средств.

Базовая структура параллельной ЭВМ
Параллельная ЭВМ с общим управлением, ориентированная на решение параллельных вычислительных задач, содержит N процессорных элементов (ПЭ), находящихся под общим управлением ОУУ. Совокупность из ПЭ образует параллельный процессор ВС.
Каждый ПЭ состоит из вычислительного модуля (ВМ), модуля памяти (МП), модуля межпроцессорного коммутатора (ММК), модуля ввода-вывода данных (МВВ).
В состав каждого ВМ входит арифметическое устройство (АУ),
Оперативные регистры (ОР), Модуль памяти МП содержит ОЗУ с независимой адресацией, МВВ – регистры ввода-вывода (РВВ).

В составе каждого блока ВМ имеются локальные устройства управления (ЛУУ),
имеющие память программ и логику управления.

Ввод программ и данных в параллельную ВС, управление периферией и общее управление все ВС осуществляет управляющая ЭВМ.
Процесс программирования задачи состоит в составлении программ работы всех управляющих устройств (УУ).

Преимущества параллельной обработки информации ВС основаны на том, что в системе с большой размерностью задачи, для которой выполняется соотношение вида
Bi(Si)>N, (i=1,2,3,…,k),
где Bi-число одинаковых операторов; N-число ПЭ; всегда имеется достаточное количество операторов Si, готовых к решению. Поэтому, за счет изменения последовательности обработки этих операторов, можно осуществить распарал-леливание информационных процессов на уровне операторов. Чтобы параллельная ВС могла решать эти задачи, каждый ПЭ должен иметь развитую систему локального управления, обеспечивающую независимую адресацию операндов в каждом модуле поля памяти, независимую адресацию коммутаторов поля коммутации. Данная идея реализована в отечественной ВС ПС-2000.

Анализ множества цифровых ЭВМ и ВС показывает, что их фундамент (базис) – математическая логика.
Основы математической логики мы ранее учили в школе.
Вспомним ее основные положения и постулаты.

ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ (символической) ЛОГИКИ
Отрицание (инверсия данных)
Мнемоническое правило: слово «инверсия» (от лат. inversio – переворачивание) означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразие, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.

Множество элементов, для которых высказывание А - ложно
Отрицание принято отображать графически
с помощью диаграммы Эйлера Венна
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно

Конъюнкция

Конъюнкция
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество А∩В элементов, для которых истинно одновременно и высказывание А и высказывание В

Дизъюнкция

Дизъюнкция
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество АUВ элементов, для которых истинно или высказывание А или высказывание В или одновременно и высказывание А и высказывание В

Импликация

Импликация
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов универсального множества, для которых высказывание В ложно или высказывание А истинно

Импликация

Импликация
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов, для которых высказывание А ложно или высказывание В истинно

Эквиваленция

Эквиваленция
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов, для которых высказывание А и высказывание В истинны или ложны одновременно

Сложение по модулю 2
(Исключающее ИЛИ)

Сложение по модулю 2
(Исключающее ИЛИ)
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов, для которых истинно высказывание А и при этом ложно высказывание В и наоборот.

Штрих Шеффера
(И -НЕ)

Штрих Шеффера
(И -НЕ)
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов универсального множества, за исключением тех, для которых высказывание А и высказывание В истинны одновременно

Стрелка Пирса
(ИЛИ -НЕ)

Стрелка Пирса
(ИЛИ -НЕ)
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов универсального множества, за исключением тех, для которых истинно высказывание А или истинно высказывание В.

Запрет по В

Запрет по В
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов, для которых истинно высказывание А за исключением тех, для которых истинно высказывание В.
А
В

Запрет по А

Запрет по А
Множество А элементов, для которых высказывание А - истинно
Множество В элементов, для которых высказывание В - истинно
Множество
всех элементов, для которых истинно высказывание В за исключением тех, для которых истинно высказывание А.
А
В

Элементарная конъюнкция
Конъюнкция переменных функции или их отрицаний.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
Дизъюнкция элементарных конъюнкций

Аналитическое представление табличнозаданной функции

Элементарная дизъюнкция
Дизъюнкция переменных функции или их отрицаний.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
Конъюнкция элементарных дизъюнкций

Таким образом, отметим следующие определения:

Пример. По мишени производится стрельба 3-мя выстрелами и рассматриваются простые события:
А1-попадание при 1-м выстреле, А2-попадание при втором, А3-попадание при 3-м выстреле. Получить выражение о том, что в мишени будет не менее 2-х попаданий?
Рассмотрим, сложное событие В, как результате 3-х выстрелов, т.е. будет ровно одно попадание в мишень
В=А1┐А2 ┐А3 + ┐А1А2 ┐А3 + ┐А1 ┐А2А3.
2. Событие, что в мишени будет не менее 2-х попаданий
С=А1А2 ┐А3+А1 ┐А2А3+ ┐А1А2А3+А1А2А3.
Далее, самостоятельно построить математическую модель и определить вероятности событий ?