Скрещивающиеся прямые

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
А
В
С
D

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Определение
М
a
b

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi
Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой.

a
b

Найдите на рисунке параллельные прямые.
Назовите параллельные прямые и плоскости.
Найдите скрещивающиеся прямые.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Признак скрещивающихся прямых
D
В
А
C
?

а II b
Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве
М
a
b
a
b
a
b

№ 38. Через вершину А ромба АВСD проведена прямая а, параллельная диагонали ВD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба.
Докажите, что: а) а и СD пересекаются;
б) а и b скрещивающиеся прямые.
В
А
C
?
a
D

А
D
С
В
B1
С1
D1
А1
Каково взаимное положение прямых
1) AD1 и МN; 2) AD1 и ВС1; 3) МN и DC?
N
M

А
D
С
В
B1
С1
D1
А1
Докажите, что прямые
1) AD и C1D1; 2) A1D и D1C; 3) AB1 и D1C скрещивающиеся.
N
M

А
D
С
В
B1
С1
D1
А1
Основание призмы АВСDA1B1C1D1 – трапеция.
Какие из следующих пар прямых являются
скрещивающимися?
1) D1C и C1D; 2) C1D и AB1; 3) C1D и AB; 4) AB и CD.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Теорема о скрещивающихся прямых
D
С
B
A

полуплоскость
полуплоскость
граница
Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.
а

Углы с сонаправленными сторонами
A
О
О1
О2
A1
В2
A2
О3
A3

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Угол между прямыми
a
b

a
b
300
n
1000
m
Угол между прямыми m и n 800.
Угол между прямыми а и b 300.

Угол между скрещивающимися прямыми
a
b
b
М

Угол между скрещивающимися прямыми
a
b
М
Точку М можно выбрать произвольным образом.
m
В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

Прямая СD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС.
Найдите угол между прямыми СD и EF, если DCA = 600
D
В
А
C
?
F
E

Прямая МА проходит через вершину квадрата АВСD и не лежит плоскости квадрата. Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые.
Найдите угол между скрещивающимися прямыми МА и ВС, если МАD =450.
М
D
С
А
?
B

№ 46. Прямая m параллельна диагонали ВD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что
а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними;
б) m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = 1280.
А
В
D
С
1280
1280

А
D
С
А1
B1
С1
D1
В
На рисунке АВСD – параллелограмм, АВС = 1300,
АА1 II BB1 II CC1 II DD1 и АА1= BB1=CC1=DD1. Найдите угол между прямыми АВ и А1D1.
Рассмотрите различные способы.