Скрещивающиеся прямые. Вопросы, задачи

09/01/2023
Ребята! Сегодня мы с вами выходим в открытое пространство. Объект изучения – скрещивающиеся прямые.
Вы конечно помните, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Давайте посмотрим какими еще интересными свойствами обладают скрещивающиеся прямые.

09/01/2023
Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.
α
γ
b
a
1 свойство
Вопрос №1: Как доказать, что прямые скрещиваются?
Вопрос №2: Как построить эти параллельные плоскости?

09/01/2023
Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.
α
γ
b
a
1 свойство
Вопрос №2: Как построить эти параллельные плоскости?
a1
b1

09/01/2023
Через точку, не лежащую на данных параллельных плоскостях, проходит прямая, и притом, единственная, пересекающая обе скрещивающиеся прямые.
М
α
γ
a
b
c
A
B
2 свойство
Вопрос №3: Как построить эту прямую?

09/01/2023
Через точку, не лежащую на данных параллельных плоскостях, проходит прямая, и притом, единственная, пересекающая обе скрещивающиеся прямые.
М
α
γ
a
b
c
A
B
2 свойство
Вопрос №3: Как построить эту прямую?

09/01/2023
У всяких двух скрещивающихся прямых имеется один общий перпендикуляр.
γ
α
a
b
c
A
B
3 свойство
Вопрос №4: Как построить этот перпендикуляр?

09/01/2023
У всяких двух скрещивающихся прямых имеется один общий перпендикуляр.
γ
a
b
c
A
B
3 свойство
Вопрос №4: Как построить этот перпендикуляр?
a1

09/01/2023
Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, то длина перпендикуляра, опущенного из любой точки второй прямой на эту плоскость есть расстояние между скрещивающимися прямыми.
α
a
b
A
B
4 свойство
Вопрос №4: Зависит ли расстояние между скрещивающимися прямыми от выбора точки А?

09/01/2023
Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, то длина перпендикуляра, опущенного из любой точки второй прямой на эту плоскость есть расстояние между скрещивающимися прямыми.
α
a
b
A
B
4 свойство
Вопрос №5: Зависит ли расстояние между скрещивающимися прямыми от выбора точки А?
A1
A2
B1
B2

09/01/2023
Теперь вы догадываетесь, какие интересные конструкции можно составлять из скрещивающихся прямых.
Без скрещивающихся ребер нет и многогранника.
Рассмотрим несколько моделей различных многогранников.

09/01/2023
Вы видите пары скрещивающихся ребер.

09/01/2023
А1В1 , АВ и D С – орбиты звездолетов, при этом А1В1 и АВ скрещиваются. Возможно ли столкновение спутников при движении их по этим орбитам?
Задание 1:
B1
B
C
D
A1
М
А
К
О
α

09/01/2023
АС и В1D1– орбиты звездолетов, а точка М - это межпланетная станция . Надо произвести запуск звездолета по космическому тоннелю так, что бы тоннель проходил через точку М и пересекал орбиты.*
Задание 2:
*Требуется построить прямую линию, пересекающую две скрещивающиеся прямые и проходящую через точку М.
А

09/01/2023
Задание 3:
B1
Надо произвести запуск космического звездолета с межпланетной станции (точка М), таким образом, что бы он пересек орбиты В1D1 и АС за минимально короткое время. Постройте траекторию движения звездолета.*
*Требуется построить прямую линию, проходящую через точку М и пересекающую две скрещивающиеся прямые.

09/01/2023
А теперь попробуйте выполнить следующие задания.
Задание 4:
1.Докажите, что прямые АС и B1D1 скрещивающиеся.
2. Пусть дана точка М, не лежащая ни на одной из скрещивающихся прямых и лежащая в плоскости А1В1С1D1. Можно ли построить прямую, проходящую через эту точку и пересекающую обе скрещивающиеся прямые?
3.Постройте общий перпендикуляр для прямых АС и B1D1.
4. Каково расстояние между прямыми АС и В1D1 , если ребро куба равно а?
А1
М
Дан куб.

09/01/2023
Задание 5:
АВСDА1В1С1D1 – космическая станция, имеющая форму куба. Требуется найти расстояние между АА1 и В1D, если ребро куба равно а.
К
B1
C1
А
B
C
D
D1
А1

09/01/2023
О1
О2
Задание 2:
Искомая прямая проходит через точку М и прямую АС, поэтому она находится в плоскости МАС или АА1С1С. Кроме того, она должна пересекать прямую В1D1 и, следовательно, задача сводится к построению точки пересечения прямой В1D1 и плоскости АА1С1С. Строим сечение АА1С1С .
Прямая В1D1 и плоскость АА1С1С пересекаются в точке О1.
А
Через точки М и О1 проходит искомая прямая МО1.
Продолжим прямую АС, что бы построить точку пересечения прямых МО1 и АС. Прямые пересекаются в точке О2.
Прямая О1О2 и есть искомая прямая.
Построение
Пуск

09/01/2023
Задание 3:
C1
А
B
C
D
D1
A1
В1
М
Y
X
Построение
Пуск
О

09/01/2023
Задание 5:
О
Построение
Замечаем, что прямая В1D лежит в плоскости сечения ВВ1D1D, а прямая АА1 параллельна этой плоскости. Следовательно, что бы найти расстояние между прямыми АА1 и В1D надо опустить перпендикуляр из любой точки прямой АА1 на плоскость ВВ1D и найти его длину.
Опустим перпендикуляр АС на плоскость ВВ1D (объясни как).
АО и есть искомое расстояние.

09/01/2023
Ответы:
Т.к. прямые лежат в параллельных плоскостях, то они не пересекаются, а т.к. они не параллельны. Следовательно они скрещиваются.
Надо на одной из скрещивающихся прямых отметить произвольную точку и построить через эту точку прямую, параллельную второй скрещивающейся прямой. Затем через две пересекающиеся прямые построить 1-ю плоскость. Аналогичным образом поступить со второй плоскостью. (признак параллельности двух плоскостей).
Надо через одну из скрещивающихся прямых и данную точку построить плоскость. Вторая из скрещивающихся прямых будет пересекать эту плоскость в некоторой точке. Через эту точку и данную точку провести искомую прямую.
Надо через одну из скрещивающихся прямых провести плоскость, параллельную второй прямой и затем параллельным переносом опустить вторую прямую на эту плоскость, что бы найти точку пересечения прямых. Из этой точки восстановить перпендикуляр на вторую прямую.
Нет.