Сложение и умножение вероятностей

События называются независимыми, если происхождение одного из них никак не влияет на вероятность появления другого.
Пример. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании не зависит от результата второго, а вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания - события независимые.

События наз. зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность появления другого.
Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом - вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается p (A|B)) называют вероятность,
вычисленную при условии, что событие В уже
произошло и изменило ход эксперимента.

Пример: В ящике находятся 5 шаров: 2 чёрных и 3 белых. Производится 2 последовательных извлечения. Определить условную вероятность появления чёрного шара при 2-ом извлечении при условии, что извлеченный в первый раз шар в ящик не возвращается.
Решение: A - извлечение чёрного шара в 1-ом случае, Ā - извлечение белого. Тогда p(А) = 2/5; р(Ā) = 1 - 2/5 = 3/5. Т. к. шары в ящик не возвращаются, то изменяется соотношение между их количествами.

Теорема сложения несовместных событий
Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
p (А + В) = p(А) + p(В)
Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице!!!

Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: p(А) = 0,6; p(В) = 0,4.
Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет:
p (А + В) = p(А) + p(В) = 0,6 + 0,4 = 1

Теорема сложения совместных событий
Два события наз. совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте.
Пример. При бросании игральной кости события совместны: 1. Выпало чётное число 2. Выпало число больше 3 (могут произойти одновременно)
Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления
p (А + В) = p(А) + p(В) - p(А·В)

Пример: Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0.8, для второго – 0.6. Стрелки независимо друг от друга делают по одному выстрелу. Какова вероятность, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков? Решение: А – попадание в мишень 1-го стрелка,
В – попадание 2-го, С – попадание хотя бы одного.
А и В совместны: P(C) = P(A) + P(B) − P(A·B);
учитывая их независимость
P(C) = P(A) + P(B) − P(A)·P(B) =
= 0,8 + 0,6 – 0,8 · 0,6 = 0,92.

Теорема умножения вероятностей
Произведением событий А и В наз. событие А • В, состоящее в совместном их появлении.
Например, А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то А • В - деталь годна и окрашена.
Если события А и В независимы (наступление одного никак не влияет на шансы наступления другого), то вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:
Р (А • В) = Р (А) • Р (В)

Пример:
Игральная кость бросается два раза, вероятность появления «5» в каждом испытании равна 1/6. Вероятность появления двух «5» подряд
равна 1/6 • 1/6 = 1/36

Теорема умножения зависимых событий
Пусть А и В - зависимые.
Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (А • В) = Р(А) • P (B|A)

Пример.
При подготовке к экзамену две студентки успели выучить только первые 5 билетов из 20.
Пусть событие А – «первая студентка вытянула один из счастливых для неё билетов», событие В – «вторая студентка вытянула счастливый билет».

Если событие А произошло, то среди оставшихся 19 билетов окажется только 4 счастливых, значит, вероятность события В равна
Р(В) =
Если событие А не произошло, то число счастливых билетов среди оставшихся 19 не изменится, и вероятность события В будет другой:
Р(В) =

Пример.
Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5.
После поимки одного из них, в связи с увеличением числа сотрудников занятых в поисках, вероятность найти второго возрастает до 0,7.
С какой вероятностью в течение суток будут обнаружены оба преступника?

Решение.
Событие А – «обнаружены оба преступника». Разобьем его на простые:
В1– «обнаружен 1-ый», В2 - «обнаружен 2-ой после того, как пойман 1-ый преступник».
По определению произведения событий
А = В1 · В2.
Тогда по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:
Р(А) = Р(В1 · В2 ) = Р(В1) · Р(В2 |В1)=
= 0,5 · 0,7 = 0,35

Пример.
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,9; второго стрелка – 0,8.
Найти вероятность того, что
а) в мишень попадет только один стрелок.
б) мишень будет поражена.

Решение: а) Пусть А – в мишень попадет только один стрелок. Рассмотрим события: А1 – в мишень попадет 1-ый; А2– в мишень попадет 2-ой.
По условию: p(А1) = 0,9; p(А2) = 0,8.
Тогда вероятности промахов стрелков:
p (Ā1) = 1 - 0,9 = 0,1; p (Ā2) = 1 - 0,8 = 0,2.
А означает: в мишень попадет только 1-ый (1-ый попадет и 2-ой промахнётся) или попадет только 2-ой (1-ый промахнётся и 2-ой попадет).
Тогда P(A) = 0,9 · 0,2 + 0,1 · 0,8 = 0,26.

б) Событие В произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только 1-ый, или только 2-ой, или оба.
Тогда:
P (В) = 0,9 · 0,2 + 0,1 · 0,8 + 0,9 · 0,8 =
= 0,18 + 0,08 + 0,72 = 0,98.
Найти вероятность события В также можно по теореме сложения совместных событий А1 и А2 .
= 0,9 + 0,8 – 0,9·0,8 = 1,7 – 0,72 = 0,98.

Пример. В порт приходят корабли только из
трех пунктов отправления. Вероятность
появления корабля из 1-го пункта - 0,2, из 2-го пункта – 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из 3-его пункта.
Решение. Обозначим p (Ai) – вероятность прибытия корабля из пункта i. Из свойств вероятности следует, что:
Тогда вероятность прибытия корабля из 3-го пункта отправления равна
p (A3) = 1 - 0,2 - 0,6 = 0,2.

Дидактическая единица. Теория вероятностей.
Задание. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков, больше чем три, равна …
Варианты ответов:
2)
0 4) 1
Ответ: пункт № 1, т.е. выпадет или 4, или 5, или 6.

Задание №8. Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян в первом и втором пакетах соответственно равна 0,9 и 0,7. Если взять по одному семени из каждого пакета, то вероятность того, что оба они прорастут, равна …
Варианты ответов:
1) 0,63 2) 0,9
3) 1,6 4) 0,8
Ответ: пункт № 1, т.к. согласно теоремы умножения вероятностей независимых событий 0,9 · 0,7 = 0,63.

Задание №11. В урне находятся шесть шаров: три белых и три черных. Событие А – «вынули белый шар». Событие В – « вынули черный шар». Если опыт состоит в выборе только одного шара, то для этих событий неверным будет утверждение…
Варианты ответов:
1) «События А и В несовместны»
2) «События А и В равновероятны»
3) «Событие А невозможно»
4) «Вероятность события В равна 0,5»
Ответ: пункт № 3, другие пункты – верные утверждения.

Задание №12.
Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …
Варианты ответов:
0 2)
1 4) 2
Ответ: пункт № 4, по свойствам вероятности.

Пример.
Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой двери он тратит 5 секунд. Найти вероятность что он откроет все двери за 15 секунд.
Решение:
Пусть А – «открыты все двери». Разобьём событие на более простые: В – «открыта 1-я дверь», С – «открыта 2-я дверь», D – «открыта 3-я дверь», тогда А = B·C·D по определению произведения событий.

Следовательно P(А)=P(B·C·D), по теореме умножения вероятностей независимых событий P(B·C·D) = P(B)·P(C) ·P(D).
Вычислим вероятность событий B, C и D.
Имеется три равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х) исходов опыта. Каждому из событий B, C и D благоприятствует одно из них, поэтому
P(B) = P(C)= P(D)= ;
P(А)= P(B)·P(C) ·P(D) = × × =

Пример
В урне 5 белых, 20 красных и 10 чёрных шаров, не отличающихся по размеру. Шары перемешивают и наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность, что он окажется белым или чёрным?
Решение:
Пусть А – появление белого или чёрного шара, разобьём событие на более простые. В – появление белого, С – появление чёрного, тогда А = В + С, следовательно Р(А) = Р(В +С). Так как В и С события несовместные, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий
Р(В + С) = Р(В) + Р(С).

Вычислим вероятность событий В и С.
Имеется 35 равновозможных исходов опыта, событию В благоприятствует 5, событию С – 10.
Следовательно:
Р(В) = Р(С) =
Р(А) = Р(В) + Р(С) = + =

Домашнее задание
Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число а) делится без остатка на 8 и на 3;
б) не содержит цифру 5.
2. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка - 0,6; второго стрелка - 0,3. Найти вероятность того, что:
а) в мишень попадет только один стрелок;
б) оба промахнутся.

Задание. Операции сложения и умножения событий не обладают свойством …
Варианты ответов:
1. А(В + С) = АВ + АС 3. А(ВС) = А + В + С
2. АВ = ВА 4. А + В = В + А

Решение:
Операции сложения и умножения событий обладают свойствами:
а) коммутативности сложения А + В = В + А
б) коммутативности умножения АВ = ВА
в) дистрибутивности А(В + С) = АВ + АС
Следовательно, операции сложения и умножения событий не обладают свойством А(ВС) = А + В + С