Слайд 2События называются независимыми, если происхождение одного из них никак не влияет на
![События называются независимыми, если происхождение одного из них никак не влияет на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-1.jpg)
вероятность появления другого.
Пример. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании не зависит от результата второго, а вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания - события независимые.
Слайд 3События наз. зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность появления другого.
![События наз. зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность появления другого.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-2.jpg)
Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом - вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается p (A|B)) называют вероятность,
вычисленную при условии, что событие В уже
произошло и изменило ход эксперимента.
Слайд 4Пример: В ящике находятся 5 шаров: 2 чёрных и 3 белых. Производится
![Пример: В ящике находятся 5 шаров: 2 чёрных и 3 белых. Производится](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-3.jpg)
2 последовательных извлечения. Определить условную вероятность появления чёрного шара при 2-ом извлечении при условии, что извлеченный в первый раз шар в ящик не возвращается.
Решение: A - извлечение чёрного шара в 1-ом случае, Ā - извлечение белого. Тогда p(А) = 2/5; р(Ā) = 1 - 2/5 = 3/5. Т. к. шары в ящик не возвращаются, то изменяется соотношение между их количествами.
Слайд 6Теорема сложения несовместных событий
Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей
![Теорема сложения несовместных событий Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-5.jpg)
этих событий:
p (А + В) = p(А) + p(В)
Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице!!!
Слайд 8Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух
![Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-7.jpg)
машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: p(А) = 0,6; p(В) = 0,4.
Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет:
p (А + В) = p(А) + p(В) = 0,6 + 0,4 = 1
Слайд 9Теорема сложения совместных событий
Два события наз. совместными, если появление одного из
![Теорема сложения совместных событий Два события наз. совместными, если появление одного из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-8.jpg)
них не исключает появления другого в одном и том же опыте.
Пример. При бросании игральной кости события совместны: 1. Выпало чётное число 2. Выпало число больше 3 (могут произойти одновременно)
Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления
p (А + В) = p(А) + p(В) - p(А·В)
Слайд 10Пример: Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0.8, для второго –
![Пример: Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0.8, для второго –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-9.jpg)
0.6. Стрелки независимо друг от друга делают по одному выстрелу. Какова вероятность, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков? Решение: А – попадание в мишень 1-го стрелка,
В – попадание 2-го, С – попадание хотя бы одного.
А и В совместны: P(C) = P(A) + P(B) − P(A·B);
учитывая их независимость
P(C) = P(A) + P(B) − P(A)·P(B) =
= 0,8 + 0,6 – 0,8 · 0,6 = 0,92.
Слайд 11Теорема умножения вероятностей
Произведением событий А и В наз. событие А • В,
![Теорема умножения вероятностей Произведением событий А и В наз. событие А •](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-10.jpg)
состоящее в совместном их появлении.
Например, А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то А • В - деталь годна и окрашена.
Если события А и В независимы (наступление одного никак не влияет на шансы наступления другого), то вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:
Р (А • В) = Р (А) • Р (В)
Слайд 12Пример:
Игральная кость бросается два раза, вероятность появления «5» в каждом испытании
![Пример: Игральная кость бросается два раза, вероятность появления «5» в каждом испытании](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-11.jpg)
равна 1/6. Вероятность появления двух «5» подряд
равна 1/6 • 1/6 = 1/36
Слайд 13Теорема умножения зависимых событий
Пусть А и В - зависимые.
Вероятность произведения двух
![Теорема умножения зависимых событий Пусть А и В - зависимые. Вероятность произведения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-12.jpg)
зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (А • В) = Р(А) • P (B|A)
Слайд 14Пример.
При подготовке к экзамену две студентки успели выучить только первые 5
![Пример. При подготовке к экзамену две студентки успели выучить только первые 5](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-13.jpg)
билетов из 20.
Пусть событие А – «первая студентка вытянула один из счастливых для неё билетов», событие В – «вторая студентка вытянула счастливый билет».
Слайд 15Если событие А произошло, то среди оставшихся 19 билетов окажется только 4
![Если событие А произошло, то среди оставшихся 19 билетов окажется только 4](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-14.jpg)
счастливых, значит, вероятность события В равна
Р(В) =
Если событие А не произошло, то число счастливых билетов среди оставшихся 19 не изменится, и вероятность события В будет другой:
Р(В) =
Слайд 16Пример.
Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может
![Пример. Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-15.jpg)
быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5.
После поимки одного из них, в связи с увеличением числа сотрудников занятых в поисках, вероятность найти второго возрастает до 0,7.
С какой вероятностью в течение суток будут обнаружены оба преступника?
Слайд 17Решение.
Событие А – «обнаружены оба преступника». Разобьем его на простые:
В1– «обнаружен 1-ый»,
![Решение. Событие А – «обнаружены оба преступника». Разобьем его на простые: В1–](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-16.jpg)
В2 - «обнаружен 2-ой после того, как пойман 1-ый преступник».
По определению произведения событий
А = В1 · В2.
Тогда по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:
Р(А) = Р(В1 · В2 ) = Р(В1) · Р(В2 |В1)=
= 0,5 · 0,7 = 0,35
Слайд 18Пример.
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого
![Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-17.jpg)
стрелка – 0,9; второго стрелка – 0,8.
Найти вероятность того, что
а) в мишень попадет только один стрелок.
б) мишень будет поражена.
Слайд 19Решение: а) Пусть А – в мишень попадет только один стрелок. Рассмотрим
![Решение: а) Пусть А – в мишень попадет только один стрелок. Рассмотрим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-18.jpg)
события: А1 – в мишень попадет 1-ый; А2– в мишень попадет 2-ой.
По условию: p(А1) = 0,9; p(А2) = 0,8.
Тогда вероятности промахов стрелков:
p (Ā1) = 1 - 0,9 = 0,1; p (Ā2) = 1 - 0,8 = 0,2.
А означает: в мишень попадет только 1-ый (1-ый попадет и 2-ой промахнётся) или попадет только 2-ой (1-ый промахнётся и 2-ой попадет).
Тогда P(A) = 0,9 · 0,2 + 0,1 · 0,8 = 0,26.
Слайд 20б) Событие В произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок:
![б) Событие В произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-19.jpg)
или только 1-ый, или только 2-ой, или оба.
Тогда:
P (В) = 0,9 · 0,2 + 0,1 · 0,8 + 0,9 · 0,8 =
= 0,18 + 0,08 + 0,72 = 0,98.
Найти вероятность события В также можно по теореме сложения совместных событий А1 и А2 .
= 0,9 + 0,8 – 0,9·0,8 = 1,7 – 0,72 = 0,98.
Слайд 21Пример. В порт приходят корабли только из
трех пунктов отправления. Вероятность
появления корабля из
![Пример. В порт приходят корабли только из трех пунктов отправления. Вероятность появления](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-20.jpg)
1-го пункта - 0,2, из 2-го пункта – 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из 3-его пункта.
Решение. Обозначим p (Ai) – вероятность прибытия корабля из пункта i. Из свойств вероятности следует, что:
Тогда вероятность прибытия корабля из 3-го пункта отправления равна
p (A3) = 1 - 0,2 - 0,6 = 0,2.
Слайд 22Дидактическая единица. Теория вероятностей.
Задание. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что
![Дидактическая единица. Теория вероятностей. Задание. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-21.jpg)
на верхней грани выпадет число очков, больше чем три, равна …
Варианты ответов:
2)
0 4) 1
Ответ: пункт № 1, т.е. выпадет или 4, или 5, или 6.
Слайд 23Задание №8. Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян
![Задание №8. Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-22.jpg)
в первом и втором пакетах соответственно равна 0,9 и 0,7. Если взять по одному семени из каждого пакета, то вероятность того, что оба они прорастут, равна …
Варианты ответов:
1) 0,63 2) 0,9
3) 1,6 4) 0,8
Ответ: пункт № 1, т.к. согласно теоремы умножения вероятностей независимых событий 0,9 · 0,7 = 0,63.
Слайд 24Задание №11. В урне находятся шесть шаров: три белых и три черных.
![Задание №11. В урне находятся шесть шаров: три белых и три черных.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-23.jpg)
Событие А – «вынули белый шар». Событие В – « вынули черный шар». Если опыт состоит в выборе только одного шара, то для этих событий неверным будет утверждение…
Варианты ответов:
1) «События А и В несовместны»
2) «События А и В равновероятны»
3) «Событие А невозможно»
4) «Вероятность события В равна 0,5»
Ответ: пункт № 3, другие пункты – верные утверждения.
Слайд 25Задание №12.
Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …
Варианты ответов:
0
![Задание №12. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна … Варианты](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-24.jpg)
2)
1 4) 2
Ответ: пункт № 4, по свойствам вероятности.
Слайд 26Пример.
Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь выбирая ключ
![Пример. Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь выбирая ключ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-25.jpg)
случайным образом. На открытие каждой двери он тратит 5 секунд. Найти вероятность что он откроет все двери за 15 секунд.
Решение:
Пусть А – «открыты все двери». Разобьём событие на более простые: В – «открыта 1-я дверь», С – «открыта 2-я дверь», D – «открыта 3-я дверь», тогда А = B·C·D по определению произведения событий.
Слайд 27Следовательно P(А)=P(B·C·D), по теореме умножения вероятностей независимых событий P(B·C·D) = P(B)·P(C) ·P(D).
![Следовательно P(А)=P(B·C·D), по теореме умножения вероятностей независимых событий P(B·C·D) = P(B)·P(C) ·P(D).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-26.jpg)
Вычислим вероятность событий B, C и D.
Имеется три равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х) исходов опыта. Каждому из событий B, C и D благоприятствует одно из них, поэтому
P(B) = P(C)= P(D)= ;
P(А)= P(B)·P(C) ·P(D) = × × =
Слайд 28Пример
В урне 5 белых, 20 красных и 10 чёрных шаров, не отличающихся
![Пример В урне 5 белых, 20 красных и 10 чёрных шаров, не](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-27.jpg)
по размеру. Шары перемешивают и наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность, что он окажется белым или чёрным?
Решение:
Пусть А – появление белого или чёрного шара, разобьём событие на более простые. В – появление белого, С – появление чёрного, тогда А = В + С, следовательно Р(А) = Р(В +С). Так как В и С события несовместные, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий
Р(В + С) = Р(В) + Р(С).
Слайд 29Вычислим вероятность событий В и С.
Имеется 35 равновозможных исходов опыта, событию
![Вычислим вероятность событий В и С. Имеется 35 равновозможных исходов опыта, событию](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-28.jpg)
В благоприятствует 5, событию С – 10.
Следовательно:
Р(В) = Р(С) =
Р(А) = Р(В) + Р(С) = + =
Слайд 30Домашнее задание
Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число а) делится
![Домашнее задание Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число а) делится](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-29.jpg)
без остатка на 8 и на 3;
б) не содержит цифру 5.
2. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка - 0,6; второго стрелка - 0,3. Найти вероятность того, что:
а) в мишень попадет только один стрелок;
б) оба промахнутся.
Слайд 35Задание. Операции сложения и умножения событий не обладают свойством …
Варианты ответов:
1. А(В
![Задание. Операции сложения и умножения событий не обладают свойством … Варианты ответов:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-34.jpg)
+ С) = АВ + АС 3. А(ВС) = А + В + С
2. АВ = ВА 4. А + В = В + А
Слайд 36Решение:
Операции сложения и умножения событий обладают свойствами:
а) коммутативности сложения А + В
![Решение: Операции сложения и умножения событий обладают свойствами: а) коммутативности сложения А](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/986735/slide-35.jpg)
= В + А
б) коммутативности умножения АВ = ВА
в) дистрибутивности А(В + С) = АВ + АС
Следовательно, операции сложения и умножения событий не обладают свойством А(ВС) = А + В + С