Случайные величины 14 сен

Виды случайных величин
Определение 3.1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное случайное значение.
Обычно случайная величина обозначается большой буквой, а её возможные значения – такой же маленькой (может быть, с индексом) или числами. Вот некоторые примеры.
• Число на верхней грани кости при её бросании X. Возможные значения X: 1, 2, …, 6. Эти числа можно обозначить x1, x2, …, x6. Всего у данной величины 6 возможных значений.
• Число покупателей в магазине в течение дня X. Возможные значения этой величины: 0, 1, 2, …. Здесь верхний предел неизвестен. В теоретических исследованиях удобно считать, что возможные значения X – все целые неотрицательные числа (бесконечное множество значений x0, x1, x2, …, xn, …).
• Время работы изделия до отказа T. Здесь возможные значения – неотрицательные действительные числа. Мы не знаем максимального значения, поэтому также считаем, что t ϵ [0; ∞).

Виды случайных величин
Определение 3.2. Случайная величина называется дискретной, если множество её возможных значений конечно или является бесконечным счётным множеством.
Определение 3.3. Случайная величина называется непрерывной, если множество её возможных значений целиком заполняет некоторый промежуток или систему промежутков.
Определение 3.4. Дискретная случайная величина называется конечнозначной, если множество её возможных значений конечно.
Определение 3.5. Дискретная случайная величина называется бесконечнозначной, если множество её возможных значений является бесконечным счётным множеством.

Виды случайных величин

Виды случайных величин
Другая классификация, независимая от приведенной на рис. 3.1 – это разделение случайных величин на одномерные (скалярные) и многомерные (векторные).
Все те величины, которые мы выше рассматривали – это одномерные, или скалярные случайные величины.
Определение 3.6. Многомерной случайной величиной, или системой случайных величин, или случайным вектором называется совокупность нескольких рассматриваемых совместно случайных величин.

Дискретные случайные величины
Обозначив pk = P(X = xk), получим основное правило, которому подчиняются вероятности принятия дискретной случайной величиной её возможных значений:
(3.1)
для конечнозначной величины и
(3.2)
для бесконечнозначной.

Дискретные случайные величины
Определение 3.7. Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило, по которому всем возможным значениям xk случайной величины X ставятся в соответствие вероятности их появления pk.
Фактически закон распределения – это функциональная зависимость pk от xk. Её можно задавать разными способами. Во-первых, это может быть таблица. Она называется рядом распределения.
Пример 3.1. В таблице 3.1 показан ряд распределения случайной величины X – суммы чисел на верхних гранях двух костей при их бросании. Возможные значения этой величины – целые числа от 2 до 12.
Таблица 3.1. Пример ряда распределения дискретной случайной величины

Дискретные случайные величины
Пример 3.2. Построим с помощью MATLAB многоугольник распределения. Предполагаем, что ряд распределения (таблица вида 3.1) задан.
Результат – на рисунке.
x=[0.2 1 2.1 3 3.7 4]; % задали x(i)
p=[0.08 0.15 0.3 0.2 0.15 0.12]; % задали p(i)
p=p/sum(p); % нормировали до единичной суммы
plot(x,p,'k-',x,p,'k.') % многоугольник распределения
ylim([0 0.4])
set(get(gcf,'CurrentAxes'),...
'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',10) % шрифт
title('\bfМногоугольник распределения') % заголовок
xlabel('\itx_k') % метка оси OX
ylabel('\itp_k') % метка оси OY

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины
Пример 3.3 аналитического закона распределения для конечнозначной величины: вероятность появления различного количества гербов при 3 бросаниях монеты:
В этом распределении участвуют биномиальные коэффициенты, и оно называется биномиальным.

Дискретные случайные величины
Следующая характеристика случайной величины – это функция распределения. Её другие названия: интегральная функция распределения, интегральный закон распределения. В англоязычной литературе применяется термин the cumulative distribution function. Эта характеристика годится и для дискретных, и для непрерывных величин.
Определение 3.8. Функцией распределения случайной величины X называется вероятность принятия ею значений, меньших конкретного числа x, рассматриваемая как функция x:
F ( x)=P( X
Функция распределения является вероятностью, поэтому она безразмерная.

Дискретные случайные величины
Свойство 3.1. Функция распределения – это вероятность некоторого события, поэтому .
Свойство 3.2. F(–∞) = P(X < –∞) = 0.
Свойство 3.3. F(∞) = P(X < ∞) = 1.
Свойство 3.4. Функция распределения неубывающая: x2 > x1: F(x2) ≥ F(x1).
Свойство 3.5. Вероятность попадания величины в полуинтервал равна разности значений функции распределения на его концах: P(x1 X < x2) = F(x2) – F(x1).

Дискретные случайные величины
Пример 3.2 (продолжение). Найти функцию распределения случайной величины, многоугольник распределения которой мы построили.
Решение. Для вычисления функции распределения применяем определение (3.5) и правило (3.6).
График функции распределения дискретной величины представляет ступенчатую ломаную. Нарисуем её средствами MATLAB.
F=cumsum(p); % значения функции распределения
x1=[x(1)-0.5 x x(end)+0.5]; % добавки слева и справа
F1=[0 F 1];
figure; % новая фигура
stairs(x1,F1,'k-'); % ломаная
xl=xlim; % границы рисунка
yl=ylim;
hold on

Дискретные случайные величины
plot(x,F1(1:end-2),'k.') % добавили точки
hh=get(gca);
hp=hh.Position; % положение осей на фигуре
for i=1:length(F),
xi=x1(2+i:-1:1+i); % координаты стрелок
Fi=[F(i) F(i)];
xi=(xi-xl(1))/(xl(2)-xl(1))*hp(3)+hp(1); % нормализуем
Fi=(Fi-yl(1))/(yl(2)-yl(1))*hp(4)+hp(2); % стрелки
annotation('arrow',xi,Fi); % добавляем стрелки
end
hold off
set(get(gcf,'CurrentAxes'),...
'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',10) % шрифт
title('\bfФункция распределения') % заголовок
xlabel('\itx') % метка оси OX
ylabel('\itF\rm(\itx\rm)') % метка оси OY

Дискретные случайные величины

Непрерывные случайные величины
Определение 3.9. Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна.
Все остальные свойства F(x) остаются в силе: это функция неубывающая, меняется от 0 при x → – до 1 при x → +. Но при вычислении вероятности попадания в промежуток мы можем свободно добавлять или отбрасывать концы промежутка, т. к. в непрерывной величине учёт или неучёт конечного (или даже счётного) числа точек не влияет на вероятность:
P( x1⩽X ⩽x2)=P( x1
=P( x1
Определение 3.10. Плотностью распределения непрерывной случайной величины X называется предел отношения вероятности её попадания в малый интервал шириной Δx вблизи точки x к ширине интервала Δx при Δx → 0:

Непрерывные случайные величины
Другие названия: плотность вероятностей, дифференциальная функция распределения, дифференциальный закон распределения. Английское название: the partial distribution function.
Свойство 3.6. Плотность распределения есть производная от функции распределения:
. (3.10)
Свойство 3.7. Так как F(x) неубывающая, то f(x) ≥ 0.
Свойство 3.8 – обратное к свойству 3.6:
(3.11)
Здесь аргумент плотности распределения обозначен через t, т. к. x – верхний предел интегрирования.
Свойство 3.9. Из предыдущего свойства имеем:
Это условие называется условием нормировки плотности распределения.

Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины
Свойство 3.10. Вероятность попадания непрерывной величины в интервал (или отрезок, или полуинтервал) равна интегралу от плотности распределения по этому интервалу:
(3.13)
Пример 3.5. Плотность распределения случайной величины задана с точностью до неизвестного множителя k:
Требуется вычислить этот множитель k, найти функцию распределения и построить графики f(x) и F(x).

Непрерывные случайные величины
Решение выполняем с помощью MATLAB. Множитель k находим из условия нормировки (3.12). Вычисляем интеграл от f(x) в заданных пределах, приравниваем его 1, и из этого уравнения находим k:
syms x k % описали символические переменные
x1=1; % границы интервала
x2=3;
f=k*(x-1); % плотность распределения
fprintf('f(x)=%s\n',char(f))
I1=int(f,x,x1,x2); % считаем интеграл
ks=solve(I1-1,k); % решаем уравнение I1=1
fprintf('Множитель k=%s\n',char(ks))
f(x)=k*(x-1)
Множитель k=1/2

Непрерывные случайные величины
Подставляем полученное значение k в выражение для f(x) и строим её график. Он показан на рисунке.
fs=subs(f,k,ks); % подставили решение
disp('Плотность распределения:')
120
fprintf(['f(x)=%s; %d<=x<=%d;\nf(x)=0 '...
'вне этого отрезка.\n'],char(fs),x1,x2)
xp1=x1-0.25*(x2-x1); % границы рисунка
xp2=x2+0.25*(x2-x1);
xp=linspace(xp1,xp2,1000); % абсциссы для графика
fp=subs(fs,x,xp).*(xp>=x1).*(xp<=x2); % ординаты

Непрерывные случайные величины
plot(xp,fp) % рисуем график
ylim([0 1.2*max(fp)]); % границы по вертикали
set(get(gcf,'CurrentAxes'),...
'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',10) % шрифт
title('\bfПлотность распределения') % заголовок
xlabel('\itx') % метка оси OX
ylabel('\itf\rm(\itx\rm)') % метка оси OY
Плотность распределения:
f(x)=1/2*x-1/2; 1<=x<=3;
f(x)=0 вне этого отрезка.

Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины
Для вычисления функции распределения используем свойство 3.8.
Как видим, на 1-м и 3-м участках функция распределения равна соответственно 0 и 1, и требуется вычислить её лишь на 2-м. Вычисляем и строим график (рисунок).
F=int(fs,x,x1,x); % ф-ция распределения на среднем участке
disp('Функция распределения:')
fprintf(['F(x)=0; x<%d;\nF(x)=%s; %d<=x<=%d;\n'...
'F(x)=1; x>%d.\n'],x1,char(F),x1,x2,x2)
Fp=subs(F,x,xp).*(xp>=x1).*(xp<=x2)+...
ones(size(xp)).*(xp>x2); % ординаты
figure; % новая фигура
plot(xp,Fp) % рисуем график

Непрерывные случайные величины
ylim([0 1.2]); % границы по вертикали
set(get(gcf,'CurrentAxes'),...
'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',10) % шрифт
title('\bfФункция распределения') % заголовок
xlabel('\itx') % метка оси OX
ylabel('\itF\rm(\itx\rm)') % метка оси OY
ylabel('\itf\rm(\itx\rm)') % метка оси OY
Функция распределения:
F(x)=0; x<1;
F(x)=1/4*x^2+1/4-1/2*x; 1<=x<=3;
F(x)=1; x>3.

Непрерывные случайные величины

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.11. Математическим ожиданием или средним случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на вероятности их появления. При этом слово "сумма" должно пониматься обобщённо: для дискретной конечнозначной величины – это обычная сумма:
…
а для непрерывной – интеграл:

Числовые характеристики случайных величин
Свойство 3.11. МО детерминированной величины C (константы) равно ей самой.
Пример 3.6. Рассмотрим непрерывную величину с плотностью распределения
(3.18)
Функция распределения вычисляется по формуле (3.11):
(3.19)
Но попытка вычислить МО по формуле (3.17) приводит к интегралу:
(3.20)
который расходится. Поэтому у этой величины математического ожидания нет.

Числовые характеристики случайных величин
Пример 3.2 (продолжение). Найти МО дискретной конечнозначной величины, для которой мы уже построили многоугольник и функцию распределения.
Решение. Вычисляем по формуле (3.15).
mx=sum(x.*p); % считаем МО
fprintf('Математическое ожидание Mx=%8.5f.\n',mx);
Математическое ожидание Mx= 2.43100.
Пример 3.5 (продолжение). Найти МО непрерывной величины, для которой мы построили ранее плотность и функцию распределения.
Решение. Вычисляем по формуле (3.17).
mx=int(x*fs,x,x1,x2); % вычисляем МО
fprintf('Математическое ожидание Mx=%s=%8.5f.\n',...
char(mx),eval(mx))
Математическое ожидание Mx=7/3= 2.33333.

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.12. Мода случайной величины – это наиболее вероятное её значение (т. е. которое чаще всего встречается).
В общем случае они не совпадают с математическими ожиданиями. В зависимости от вида многоугольника распределения или графика f(x) распределения бывают унимодальными (один максимум – одна мода) и полимодальными (несколько мод). Бывают также распределения, у которых все возможные значения являются модами. Они называются равномерными.
Например, случайная величина X – число на верхней грани игральной кости при её бросании имеет 6 возможных значений (1, 2, 3, 4, 5 и 6) с одинаковыми вероятностями 1/6. Все они являются модами.

Числовые характеристики случайных величин
Пример 3.2 (продолжение). Найти моду дискретной конечнозначной величины.
Решение. Определяем то значение xk, для которого pk максимальна.
[pmax,ipmax]=max(p); % pmax и номер точки
modx=x(ipmax); % мода распределения
fprintf('Мода =%5.2f.\n',modx);
Мода = 2.10.
Пример 3.5 (продолжение). Найти моду непрерывной величины.
Решение. Определяем то значение x, для которого f(x) максимальна.
[fmax,ifmax]=max(fp); % максимальная f(x)
modx=xp(ifmax); % мода распределения
fprintf('Мода =%5.2f.\n',modx);
Мода = 3.00.

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.13. Медиана случайной величины – это такое значение xm, при котором функция распределения F(xm) = 0,5.
Пример 3.2 (продолжение). Найти медиану дискретной конечнозначной величины.
Решение. Для дискретной величины медиана может приходиться на горизонтальный участок графика F(x) или на точку разрыва. Проверяем: если F(x) = 0,5 приходится на точку разрыва, то это и есть медиана. Если же F(x) = 0,5 достигается в двух точках, берём середину соединяющего их отрезка.
imed=find(F==0.5); % есть ли точки, где F(x)=0.5
if isempty(imed), % нет таких точек
imed=min(find(F>0.5)); % номер точки разрыва через 0.5
medx=x(imed); % медиана
else % есть такие точки
medx=mean(x(imed:imed+1)); % середина отрезка с F(x)=0.5
end
fprintf('Медиана =%5.2f.\n',medx);
Медиана = 2.10.

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин
Пример 3.5 (продолжение). Найти медиану непрерывной величины.
Решение. У нас есть аналитическое выражение для F(x). Приравниваем его 0,5 и решаем полученное уравнение.
medx=eval(solve(F-0.5)); % ищем медиану
medx=medx(find((medx>=x1)&(medx<=x2))); % нужное решение
fprintf('Медиана =%8.5f.\n',medx);
Медиана = 2.41421.

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.14. Моментом (начальным моментом) m-го порядка случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений величины X в m-й степени на вероятности их появления.
Момент величины X обозначается M(Xm) или am.
Вычислим несколько первых начальных моментов для примеров 3.2 и 3.5 (продолжение).
disp('Начальные моменты:');
for i=1:5,
alpha=sum(x.^i.*p); % момент i-го порядка
fprintf('Alpha(%d)=%12.5f\n',i,alpha);
end
Начальные моменты:
Alpha(1)= 2.43100
Alpha(2)= 7.24970
Alpha(3)= 23.60689
Alpha(4)= 81.01697
Alpha(5)= 287.89826

Числовые характеристики случайных величин
disp('Начальные моменты:');
for i=1:5,
alpha=int(x^i*fs,x,x1,x2); % момент i-го порядка
fprintf('Alpha(%d)=%s=%12.5f\n',i,... char(alpha),eval(alpha));
end
Начальные моменты:
Alpha(1)=7/3= 2.33333
Alpha(2)=17/3= 5.66667
Alpha(3)=71/5= 14.20000
Alpha(4)=547/15= 36.46667
Alpha(5)=2005/21= 95.47619

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.15. Центральным моментом m-го порядка случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений величины X, из которых вычтено её МО, в m-й степени на вероятности их появления.
Формулы для вычисления центральных моментов отличаются от формул (3.21)-(3.23) для начальных моментов только тем, что из значений X вычитается МО.
Свойство 3.12. Первый центральный момент всегда равен 0.

Числовые характеристики случайных величин
Формулы вида (3.24) имеют место и здесь. Вот несколько первых центральных моментов для примеров 3.2 и 3.5 (продолжения).
disp('Центральные моменты:');
for i=1:5,
mu=sum((x-mx).^i.*p); % момент i-го порядка
fprintf('Mu(%d)=%12.5f\n',i,mu);
end
Центральные моменты:
Mu(1)= 0.00000
Mu(2)= 1.33994
Mu(3)= -0.53191
Mu(4)= 3.75172
Mu(5)= -3.67639

Числовые характеристики случайных величин
disp('Центральные моменты:');
for i=1:5,
mu=int((x-mx)^i*fs,x,x1,x2); % момент i-го порядка
fprintf('Mu(%d)=%s=%12.5f\n',i,char(mu),eval(mu));
end
Центральные моменты:
Mu(1)=0= 0.00000
Mu(2)=2/9= 0.22222
Mu(3)=-8/135= -0.05926
Mu(4)=16/135= 0.11852
Mu(5)=-128/1701= -0.07525

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.16. Дисперсией случайной величины называется её 2-й центральный момент.
Обозначения дисперсии: D(X), Dx, . Английский термин – the variance. Размерность дисперсии равна квадрату размерности X.
Свойство 3.13. Для детерминированной величины C (константы) дисперсия равна 0.
Свойство 3.14. Дисперсия случайной величины положительна.
Свойство 3.15. Дисперсия равна второму начальному моменту минус квадрат первого начального момента. Или: дисперсия равна МО квадрата случайной величины минус квадрат её МО.
Определение 3.17. Среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины называется квадратный корень из её дисперсии.
Другие названия: стандартное отклонение, стандарт. Англоязычные термины: standard deviation, standard. Обозначение: sx.

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.18. Асимметрией случайной величины называется отношение 3-го центрального момента к кубу СКО.
Английский термин: the skewness. Обозначения: A(X) или ax. Асимметрия является безразмерной величиной (она специально так введена).
Формула для её вычисления:
(3.36)

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин
Определение 3.19. Эксцессом случайной величины называется отношение 4-го центрального момента к 4-й степени СКО (квадрату дисперсии), из которого вычтено число 3.
В англоязычной литературе используется термин the kurtosis. Обозначается эксцесс: E(X) или ex. Он является безразмерной величиной и вычисляется по формуле:

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин
Закончим примеры 3.2 и 3.5: посчитаем дисперсию, СКО, асимметрию и эксцесс.
Dx=sum((x-mx).^2.*p); % дисперсия
Sx=Dx^0.5; % СКО
Ax=sum((x-mx).^3.*p)/Sx^3; % асимметрия
Ex=sum((x-mx).^4.*p)/Dx^2-3; % эксцесс
fprintf('Дисперсия Dx=%8.5f;\n',Dx);
fprintf('Среднеквадратичное отклонение Sx=%8.5f;\n',Sx);
fprintf('Асимметрия Ax=%8.5f;\n',Ax);
fprintf('Эксцесс Ex=%8.5f.\n',Ex);
Дисперсия Dx= 1.33994;
Среднеквадратичное отклонение Sx= 1.15756;
Асимметрия Ax=-0.34294;
Эксцесс Ex=-0.91042.