Случайные величины

Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы).
Например, при бросании монеты «решка» — это 0, а «герб» — это 1; при бросании игральной кости результаты — номер граней от 1 до 6; при разыгрывании лотереи – число выигрышных лотерейных билетов из трех купленных и т. п.

Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от ряда случайных факторов.
Например: количество выпадений «решки» при 2-х подбрасываниях монеты; остаток вклада по выбранному наудачу лицевому счету; число зарегистрированных правонарушений за дежурство; количество выигрышных билетов из 3-х купленных; продолжительность обслуживания покупателей в магазине и т. д.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА (С. В.)
[англ. random value] — всякая наблюдаемая величина, изменяющаяся при повторении общего комплекса условий, в которых она возникает.
С.В. принимает в зависимости от случая те или иные значения с определенными вероятностями.
Распределение указанных вероятностей С. В. служит ее важнейшей характеристикой.

Разделяют 2 класса сл. величин:
- "дискретные", множества возможных значений которых можно перечислить;
"непрерывные", множества возможных значений которых непрерывно (сплошь) заполняют числовой интервал.
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Пусть Х – дискретная сл. величина (ДСВ), в результате испытания принимающая возможные значения х1, х2, …, хn.
Законом распределения ДСВ называют соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями. Закон может быть задан:
- аналитически (формулой);
- таблично (ряд распределения);
- графически.

ДСВ X полностью определена, если указаны принимаемые ею значения: x1, x2, ..., хn и
указаны вероятности их появления, то есть
рi = P( Х = xi ), где i = 1, 2, …
Для любой ДСВ всегда верно условие:
Традиционно ДСВ задают в виде таблицы (ряда) распределения вероятностей
Значения X х1 х2 … хn
Вероятности Р p1 p2 ... рn

Пример. Два стрелка делают по выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка - 0,6; второго стрелка - 0,3. Найти закон распределения вероятностей ДСВ Х – числа попаданий в мишень.
Решение.
Здесь р1= р ( Х = х1) = 0,4 · 0,7 = 0,28
р2= р ( Х = х2) = 0,6 · 0,7 + 0,4 · 0,3 = 0,54
р3= р ( Х = х3) = 0,6 · 0,3 = 0,18.
Условие нормировки: 0,28 + 0,54 + 0,18 = 1

Графически закон распределения задают в виде многоугольника распределения вероятностей: в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (хi, рi) и соединяют их последовательно отрезками.

Задание Выбрать все примеры
А-случайных величин; В - случайных событий:
1) число диагоналей параллелограмма;
2) выпадение монеты «решкой»;
3) время ожидания выполнения заказа в кафе;
4) число градусов или радиан в прямом угле;
5) число правильных ответов Вашего теста;
6) сумма очков, выпавших при бросании 2-х игральных костей при игре в нарды;
7) сумма очков, выпавшая при бросании 2-х игральных костей – нечетное число.
8) наличие бракованных чайников в продаваемой магазином партии товара

Ответ:

Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 – по 5 руб., на 10 – по 10 руб. Какая таблица описывает закон распределения выигрыша?
1.
2.
3.
Ответ: пункт 2

Математическое ожидание ДСВ
Основными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание (средний, наиболее типичный, ожидаемый результат величины) и дисперсия.
где xi - значения ДСВ;
pi - соответствующие им вероятности.

Свойства математического ожидания
М(С) = С; где С=const.
М(С·Х) = С· М(Х);
М (X + Y) = M(X) + M(Y);
М (X · Y) = M(X) · M(Y), если X и Y независимые случайные величины

Задание №9. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей:
Математическое ожидание М(Х) этой случайной величины равно…
Варианты ответов: 1) 5 2) 2,2
3) 1 4) 2,8
Ответ: пункт №4, т.к. М (Х) = 1 · 0,4 + 4 · 0,6 =
= 0,4 + 2,4 = 2,8

Пример. Играем в следующую игру – бросаем игральную кость и получаем столько $, сколько выпало очков. Цена игры 4 $, выгодно ли играть?
Решение. ДСВ Х – количество очков выпавшее при бросании игральной кости. Вычислим математическое ожидание М(Х)
М(Х)=
Именно столько $ мы будем получать, если играть достаточно долго, значит игра невыгодна для нас, в среднем мы будем терять 0,5 $ в каждой игре.

Дисперсия случайной величины
Мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и varX (англ. variance) в зарубежной. В статистике употребляется обозначение σ2x или σ2. Квадратный корень из дисперсии, равный σ , называется среднеквадратичным (стандартным) отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Свойства дисперсии.
1. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D(X) ≥ 0;
2. Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
3. Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X];
4. Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
где - их ковариация (мера линейной зависимости двух случайных величин).