Составление систем уравнений Колмогорова. Математическое моделирование

Перечень рекомендуемых учебных изданий,
Интернет-ресурсов, дополнительной литературы
Руководства:
Видеокурсы:

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Занятие 11. Составление систем уравнений Колмогорова. Нахождение финальных вероятностей. Нахождение характеристик простейших систем массового обслуживания. (2ч)
Составление систем уравнений Колмогорова - 4
Системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия. - 16
Одноканальные системы массового обслуживания. - 19
Многоканальные системы массового обслуживания. - 22

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова
Второй (отрицательный) член каждого выражения перенесем в левую часть
Подставим конкретные значения (указанные выше) прямых и обратных интенсивностей
После выполнения арифметических действий получим:

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова

1. Составление систем уравнений Колмогорова
Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний (https://math.semestr.ru/cmo/kolmogorov.php ) Результаты (PrtScn):

2. Системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия.
Системы массового обслуживания (https://math.semestr.ru/cmo/example1.php )
Примерами таких систем служат телефонные станции, ремонтные мастерские, торговые предприятия, билетные кассы и т.д. работа любой системы массового обслуживания состоит в обслуживании поступающего в нее потока требований (вызовы абонентов, при ход покупателей в магазин, требования на выполнение работы в мастерской и т. д.).
Математическая дисциплина, изучающая модели реальных систем массового обслуживания, получила название теории массового обслуживания. Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что требование будет обслужено; математического ожидания числа обслуженных требований и т. д.) от входных показателей (количество приборов в системе, параметров входящего потока требований и т. д.) установить такие зависимости в формульном виде можно только для простых систем массового обслуживания. Изучение же реальных систем проводится путем имитации, или моделирования их работы на ЭВМ с привлечением метода статистических испытаний.
За последние десятилетия в самых разных областях народного хозяйства возникла необходимость решения вероятностных задач, связанных с работой систем массового обслуживания.

2. Системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия.
Классификация систем массового обслуживания
СМО могут быть двух видов:
♦ СМО с отказами;
♦ СМО с ожиданием (т. е. с очередью).
Обслуживание в системах с очередью может иметь различный характер:
Ø обслуживание может быть упорядоченным;
Ø обслуживание в случайном порядке;
Ø обслуживание с приоритетом, при этом приоритет может быть с прерыванием и без прерывания.
Системы с очередью делятся на: системы с неограниченным ожиданием, при этом поступившая в СМО задача становится в очередь и ждет обслуживания. Рано или поздно она будет обслужена; системы с ограниченным ожиданием, при этом на заявку в очереди накладываются ограничения, например ограниченное время пребывания в очереди, длина очереди, общее время пребывания в СМО. В зависимости от типа СМО для оценки эффективности могут быть применены разные показатели.

2. Системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия.
Для СМО с отказами используются следующие показатели эффективности:
абсолютная пропускная способность А – среднее число заявок, которое может быть обслужено в единицу времени; относительная пропускная способность Q – относительное среднее число заявок. При этом относительную пропускную способность можно найти по формуле: , где λ – это интенсивность поступления заявок в СМО.
Для СМО с ожиданием абсолютная пропускная способность А и относительная пропускная способность Q теряют смысл, но важными становятся другие характеристики:
Ø единица времени ожидания в очереди;
Ø среднее число заявок в очереди;
Ø среднее время пребывания в системе.
Для СМО с ограниченной очередью интересны обе группы характеристик.

3. Одноканальные системы массового обслуживания.
Одноканальные системы массового обслуживания (https://math.semestr.ru/cmo/cmo.php )
НАЗНАЧЕНИЕ СЕРВИСА СМО. Онлайн-калькулятор предназначен для расчета следующих показателей одноканальных СМО:
вероятность отказа канала, вероятность свободного канала, абсолютная пропускная способность;
относительная пропускная способность, среднее время обслуживания, среднее время простоя канала.

3. Одноканальные системы массового обслуживания.
ПРИМЕР №1. Авто заправочная станция имеет одну бензоколонку.
Предполагается что простейший поток автомашин поступает
на станцию с интенсивностью λ=11 автомашин/ч. Время обслуживания заявки случайная величина которая подчиняется экспоненциальному закону с параметром μ=14 автомашин/ч. Определить среднее число автомашин на станции.
ПРИМЕР №2. Имеется пункт проведения профилактического осмотра машин с одной группой проведения осмотра. На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,4 часа. На осмотр поступает в среднем 328 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний - простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания пункта профилактического осмотра.
Решение. Здесь α = 328/24 ≈ = 13.67, t = 0.4. Эти данные необходимо ввести в калькулятор.

3. Одноканальные системы массового обслуживания.
Одноканальные системы массового обслуживания
(https://math.semestr.ru/cmo/cmo.php )
Результаты (PrtScn):

4. Многоканальные системы массового обслуживания.
Многоканальные системы массового обслуживания (https://math.semestr.ru/cmo/mcmo.php )
НАЗНАЧЕНИЕ СЕРВИСА СМО. Сервис предназначен для расчета в онлайн режиме следующих показателей многоканальных СМО:
вероятность отказа канала, вероятность свободного канала, абсолютная пропускная способность;
относительная пропускная способность, среднее время обслуживания, среднее время простоя канала.

4. Многоканальные системы массового обслуживания.
ПРИМЕР №1. В типографию с тремя множительными
аппаратами поступают заказы от соседних предприятий
на размножение рабочей документации. Если все аппараты заняты, то вновь поступающий заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом составляет 2 часа. Интенсивность потока – 0,5 заявки в час. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы типографии.
Здесь: n = 3, Модель СМО: Многоканальная СМО с отказами в обслуживании, λ = 0,5 заявки в час, tобс = 2 час.
ПРИМЕР №2. Сколько автомобилей следует иметь на станции скорой помощи, если:
в среднем в час поступает 10 заявок (вызовов);
среднее продолжительность обслуживания одной заявки 1час 20 минут;
среднее время ожидания (время от момента вызова до момента выезда бригады) не должно превышать 5 минут.

4. Многоканальные системы массового обслуживания.
Многоканальные системы массового обслуживания
(https://math.semestr.ru/cmo/mcmo.php )
Результаты (PrtScn):