Стереометрия. Базовые понятия. Определения

Базовые понятия
Определения
Правильная пирамида — это пирамида, у которой боковые рёбра равны, а в основании лежит правильный n-угольник
Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, все рёбра которой равны.
Объём пирамиды вычисляется по формуле: V = 1/3 Sh, где S — площадь основания, h — высота пирамиды
Прямая призма — это призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскостям оснований.
Правильная n-угольная призма — это прямая призма, основанием которой служит правильный n-угольник.
Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм.
Объём призмы вычисляется по формуле: V = Sh, где S — площадь основания призмы, h — её высота.

Как будем это рисовать?

Как будем это рисовать?
Алгоритм
1) рисуем основание пирамиды;
2) строим центр основания, проводя медианы треугольника или диагонали квадрата;
3) из центра ведём вверх высоту и отмечаем на ней вершину пирамиды;
4) соединяем вершину пирамиды с вершинами основания.

Взаимное расположение прямых в пространстве
Существует три варианта взаимного расположения двух прямых в пространстве: прямые могут быть
пересекающимися,
параллельными
скрещивающимися.

Угол между скрещивающимися прямыми
Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними?

Пример

Параллельность прямой и плоскости
Как распознать случай параллельности прямой и плоскости?
Для этого имеется замечательно простое утверждение.
Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая l параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то прямая l параллельна этой плоскости.

Давайте посмотрим, как работает этот признак.
Пусть ABCA1B1C1 — треугольная призма, в которой проведена плоскость A1BC

ОЧЕНЬ ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА
Теорема о пересечении двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости.

Для чего она нужна?
Пример
В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS (с вершиной S) точка M — середина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABM

Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Мы же не будем перебирать все прямые?!
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пример
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны.

Рассказываю алгоритм)

Теорема о трёх перпендикулярах

Задача
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны.

Угол между прямой и плоскостью

Задача
В правильном тетраэдре найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания

Подходим к сечению
1
2
3

Выводы по сечениям

Тоже оч важно
если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Угол между плоскостями
(острый)

Задача
Найдите угол между двумя гранями правильного тетраэдра.