Технология подготовки учащихся к овладению геометрическими методами решения задач с параметрами. Занятие №4

Содержание курса
4

Содержание занятия
О геометрических методах решения задач с параметрами
Геометрический метод в задачах с параметром в литературе для подготовки к ЕГЭ 2015 (проф. уровень)
Язык формул и расстояний
Соответствие формул и геометрических образов
Технология подготовки учащихся к овладению геометрическими методами решения задач с параметрами (знакомство с основными типами задач)
Параметры в геометрических задачах
Печатные и электронные ресурсы.

О геометрическом методе решения задач с параметром
Задачи, решаемые этим методом, содержат «геометрический подтекст», поскольку их составление изначально и решение в последующем подразумевает использование различных геометрических соображений.
Метод основан на том, что между геометрическими и алгебраическими задачами, между языком алгебры («языком формул») и языком геометрии («языком расстояний») существует неоспоримая связь, известная со времен Декарта.

О геометрических методах решения задач с параметрами
Можно выделить два вида задач с параметрами, при решении которых используются геометрические методы:
1) задачи с параметром, использующие в решении геометрические идеи;
2) непосредственно геометрические задачи, при решении которых применяется метод введения параметра.
В первом случае графические интерпретации основываются еще и на геометрических представлениях, а решение – на использовании формул расстояния (между двумя точками; от точки до прямой на плоскости или до плоскости в пространстве), уравнений (прямой, пары параллельных или пересекающихся прямых; окружности; отрезка или параллелограмма), то есть основывается на использовании метода координат и геометрических формул. Само доказательство или решение задачи в этом случае опирается на наглядные представления, а геометрические идеи являются основанием для решения ряда алгебраических задач: уравнений, неравенств, вычисления наибольшего и наименьшего значений некоторых выражений.
Во втором случае решение геометрической задачи сводится к решению уравнения или системы уравнений и требует умения применять соответствующий алгебраический инструментарий.

Геометрический метод в задачах с параметром в литературе для подготовки к ЕГЭ 2015 (проф. уровень)
Геометрический метод в задачах с параметром в литературе для подготовки к ЕГЭ 2015 (проф. уровень)

Геометрический метод в задачах с параметром в литературе для подготовки к ЕГЭ 2015 (проф. уровень)

Функционально-графические методы в электронных пособиях Прокофьева А.А. и Корянова А.Г.
Адреса:
http://alexlarin.net/ege/2012/C5-2012.http://alexlarin.net/ege/2012/C5-2012. html
и
http://www.alexlarin.net/ege/2011/c52011.html
Из оглавления пособия 2011 года:
Из оглавления пособия 2012 года:

Язык формул и расстояний
«Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия,
а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах»
– София Жермен (1776-1831), французский математик
«Арифметические знаки – это записанные геометрические фигуры,
а геометрические фигуры – это нарисованные формулы»
– Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик
«Но когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству»
– Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (1736-1813), французский математик
Таблица соответствия между языками
алгебры («язык формул») и геометрии («язык расстояний»)

Формула расстояния между двумя точками

Применение формулы расстояния между двумя точками на координатной оси

Язык расстояний на языке формул.-----------------

Язык расстояний на языке формул.-----------------

Язык формул на языке расстояний

Язык формул на языке расстояний

Язык формул на языке расстояний.

Соответствие формул и геометрических образов
Рассмотрим соответствие некоторых уравнений, неравенств и просто выражений и их геометрических образов на координатной плоскости Oxy (таблица 1), и их использование при решении задач.

Уравнение прямой
Учебник. Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Проф. Уровень: учебник для 11 класса. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2012. − 391 с.
1
2

Задачи для самостоятельного решения
1
2

Системы двух линейных уравнений

Системы двух линейных уравнений

Система линейных неравенств

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Расположение прямой и окружности

Пример из вариантов ЕГЭ 2011

Пример с «пучком прямых» (ЕГЭ 2013)

Использование уравнения окружности

Теоремы о взаимном расположении двух окружностей

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Круги с изменяющимися радиусами

Соответствие формул и геометрических образов.

Соответствие формул и геометрических образов

Использование уравнения сферы

Задачи для самостоятельного решения
1
2
3

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Соответствие формул и геометрических образов

Окружность с изменяющимся радиусом

Задачи для самостоятельного решения
1
2

Соответствие формул и геометрических образов

Неравенство треугольника, уравнение отрезка

Для самостоятельной работы

Применение уравнения отрезка в радикалах

Применение уравнения отрезка в радикалах

Применение уравнения отрезка в радикалах

Применение уравнения отрезка в радикалах

Формула расстояния от точки до прямой на плоскости

Формула расстояния от точки до прямой

Катится круг

Формула расстояния от точки до прямой

Векторные интерпретации в алгебре

Векторные интерпретации в алгебре ------------

Векторные интерпретации в алгебре ------------
Задача могла быть решена и с использованием формулы
отрезка в радикалах (неравенства треугольника).

Векторные интерпретации в алгебре ------------

Векторные интерпретации в алгебре ------------

Задачи для самостоятельного решения

Задачи для осмысления

Площадь фигуры (задачи без параметра)

Площадь фигуры (задачи с параметром)

Площадь фигуры
Шабунин М.И., Прокофьев А.А.

Параметры в геометрических задачах
Задачи с параметрами в геометрии можно сгруппировать в задачи двух типов:
1) по содержанию – на построение, на вычисление;
2) по структуре – на задачи с «алгебраическим» и с «геометрическим» параметром.
«Алгебраический» тип задач с параметрами в геометрии по своей сути отличается от алгебраических задач только постановкой вопроса.
Например, при каком значении параметра, являющегося некоторым измерением геометрической фигуры (высота, сторона, угол, площадь, объем и т. д.), другая ее характеристика удовлетворяет некоторому заданному условию (чему-то равна, минимальна или максимальна, находится в заданном интервале).
«Геометрический» тип задач с параметрами – это многовариантные геометрические задачи.
В обоих случаях значение параметра определяет:
количество возможных способов решений в зависимости от условия задачи;
количество возможных решений в зависимости от условия задачи;
количество решений в зависимости от области определения полученного результата решения задачи.

Применение параметров в геометрии

Параметрические уравнения отрезка

Параметрические уравнения отрезка

Классификация задач, решаемых функционально-графическими методами

Печатные и электронные ресурсы
Школьные учебники.
Пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.
Журналы «Математика в школе», «Математика для школьников»,
«Математика», «Потенциал»
Сайты: alexlarin.net, abiturient.ru (МИЭТ),
mathus.ru/math/ , reshuege.ru,
ege-ok.ru/category/zadachi-s-parametrom/