Теория вероятностей. Повторение

Повторение
Теория вероятностей

1. Основные формулы комбинаторики
а) перестановки
б) размещения
в) сочетания
Pn =n!=1·2·3…(n – 1) ·n
Теория вероятностей
Формулы
Случайные события

2. Классическое определение вероятности
Теория вероятностей
Формулы
Случайные
события
, где m – число благоприятствующих событию A исходов, n – число всех
элементарных равновозможных исходов

3. Вероятность суммы событий
Теория вероятностей
Формулы
Случайные
события
Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
Теорема сложения вероятностей совместных событий:
P(A+ B) = P(A) +P(B)−P(AB)

4. Вероятность произведения событий
Теория вероятностей
Формулы
Случайные
события
Теорема умножения вероятностей независимых событий:
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:
P(A⋅ B) = P(A) ⋅ P(B)
P(A⋅ B) = P(A) ⋅ P(B|A)
P(A⋅ B) = P(B) ⋅ P(A|B)

Сочетания
Задача. Сколькими способам можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков?
Решение. n=10, r = 5 , порядок не важен, повторений нет.
Нужна формула: Сочетания

Размещения
Задача. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение.
n =11, r = 5 , порядок важен (уроки идут по порядку), повторений нет.
Нужна формула: Размещения

Перестановки
Задача. Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?
Решение.
n = 4, r = 4 , порядок важен (места в купе различны), нужно выбрать все объекты, повторений нет.
Нужна формула: Перестановки
Pn = n!

В ходе урока найти и записать в тетради ответы на следующие вопросы:
Формула Бернулли.
Определение случайной величины.
Определение математического ожидания. Формула.
Определение дисперсии. Формула.

Независимые испытания. Формула Бернулли
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой
Независимые испытания. Формула Бернулли

Независимые испытания. Формула Бернулли
Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях).

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли
Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.
Независимые испытания. Формула Бернулли
Сумма вероятностей всегда равна 1.

Формула Бернулли
вероятность появления события ровно k раз при n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании.

Примеры:
Пример 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение. Событие А – достали белый шар.
Тогда вероятности ,
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Примеры:
Пример 2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Решение.
Вероятность рождения девочки , тогда
Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:
Следовательно, искомая вероятность

Примеры:
Пример 3. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность p = 0,004 ,тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли находим

Примеры:
Пример 4. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов (появлений события) имеет вид:
Так как то эти границы отличаются на 1.
Поэтому k являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число (k=np) , то есть когда np+p (а отсюда и np-q) нецелое число, либо два значения, когда np-q целое число
Наивероятнейшее число успехов

Случайной она называется потому, что до эксперимента невозможно точно предсказать то значение, которое эта величина примет в результате эксперимента - это выясняется только тогда, когда эксперимент завершен.
Случайные величины
Случайной величиной называют любую числовую величину, связанную со случайным экспериментом.

Поскольку каждый такой объект описывается обычно набором числовых характеристик, то выборка предстает перед нами в виде одного или нескольких числовых рядов.
Располагая понятием случайной величины, мы можем рассматривать случайную выборку как последовательность наблюдений за одной или несколькими случайными величинами.
Таким образом, случайная величина представляет собой функцию, определенную на множестве всех возможных исходов опыта: областью определения этой функции является множество всех возможных исходов W, а значениями - числа (целые или действительные).
Случайной выборкой называют множество случайно выбранных объектов генеральной совокупности.

Случайные величины
Ряд распределения дискретной случайной величины
Сумма вероятностей всегда равна 1.

Для введения дисперсии можно привести следующий пример.
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения.
Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания.

Математическое ожидание случайной величины
вероятность появления события ровно k раз при n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании.
Для дискретной случайной величины X , заданной рядом распределения:

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание случайной величины

Дисперсия случайной величины
Для дискретной случайной величины X , заданной рядом распределения:

Распределения случайных величин
Биномиальное распределение (дискретное)
X - количество «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p . q =1− p .
Закон распределения X имеет вид:
Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли:

Задание на самоподготовку:
п. 49-52,
стр. 192 № 2, 3, 4