Тригонометрические уравнения и методы их решений

Тригонометрические уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
преобразование уравнения для получения его простейшего вида
решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
Рассмотрим десять основных методов решения тригонометрических уравнений.

Содержание:
Алгебраический метод
Метод разложения на множители
Метод вспомогательного угла
Однородные уравнения
Универсальная подстановка
Метод оценки
Метод понижения степени
Метод сравнения множеств
Переход к половинному углу
Преобразование произведения в сумму

Алгебраический метод
Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как метод замены переменной и подстановки.

Пример. Решить уравнение:
2cos2x-sinx+1=0 (применяем основное тригонометрическое тождество)
Решение.2(1-sin2x)-sinx+1=0 (раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые)
-2sin2x-sinx+3=0(получаем квадратное уравнение)
2sin2x+sinx-3=0
Пусть sinx=y, -1≤y≤1
2y2+y-3=0
y1=-1,5- не подходит по условию, т.к. -1≤y≤1
y2=1
Возвращаемся к старой переменной:
sinx=1
x=∏/2+2∏k, k є Z

Метод разложения на множители
Пример. Решить уравнение:
sinx - sin2x = 0
Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0
sinx(1- cosx) = 0
1. sinx=0 x=∏k, k є Z
2. 1-cosx=0
cosx=1 x=2∏n, n є Z
Ответ: x=∏k, k є Z