Угол между высотой и биссектрисой. Применение тригонометрии в геометрических задачах

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №1
Биссектриса внутреннего угла треугольника - отрезок прямой, делящей данный угол на две равные части, соединяющий вершину угла с точкой на противоположной стороне
А
В
С
М
β
β
ВМ - биссектриса

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №2
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов рана 90о
┐
ɑ
β
Сумма всех углов в треугольнике равна: 90о + ɑ + β = 180о
ɑ + β = 180о – 90о
ɑ + β = 90о

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29о и 61о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах
29о
61о
По условию ∟АСВ = 90о ;
CD - биссектриса
∟АCD = ∟BCD = 45o
45o
45o
∆ АСН – прямоугольный.
∟АCН = 90о – 29о = 61о
61о
Искомый ∟DCН = 61о – 45о = 16о
16о
2 способ решения:
∆ ВСН – прямоугольный.
∟ВCН = 90о – 61о = 29о
29о
Искомый ∟DCН = 45о – 29о = 16о
Ответ: 16
1.1

Острые углы прямоугольного треугольника равны 86о и 4о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах
86о
CD – биссектриса прямого угла прямоугольного ∆ АВС.
═>
∟АCD = ∟BCD = 45o
45o
4о
В прямоугольном ∆АСН: ∟АCН = 90о – 4о = 86о
86о
Искомый ∟DCН = 86о – 45о = 41о
Ответ: 41
1.2

Острые углы прямоугольного треугольника равны 69о и 21о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах
21о
В прямоугольном ∆ ВСН: ∟ВСН = 90о – 69о = 21о
69о
21о
CD – биссектриса прямого угла прямоугольного ∆ АВС.
45o
Искомый ∟DCН = 45о – 21о = 24о
Ответ: 24
1.3

Острые углы прямоугольного треугольника равны 53о и 37о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах
53о
53о
37о
В прямоугольном ∆ АСН: ∟АСН = 90о – 37о = 53о
Запомнить: Высота опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.
CD – биссектриса прямого угла прямоугольного ∆ АВС.
45o
Искомый ∟DCН = 53о – 45о = 8о
Ответ: 8
8о
∆ АСН ≈ ∆ ВСН
1.4

Острые углы прямоугольного треугольника равны 67о и 23о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах
67о
23о
Теоретические сведения
Подсказка
Решение
45о
45о
∟АDC = 112о ;
∟CDH = 68о
B прямоугольном ∆DCH: ∟DCН = 90 – 68 = 22о
Ответ: 22
112о
1.5