Вычисление углов между прямыми и плоскостями

"Мастерство - это то, чего можно добиться"
А.С. Макаренко

Цели урока:
Показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.

11
Задача 1
Угол между двумя прямыми. Куб
ABCD – квадрат ⇒
AC ⊥ BD
Решение:
1
1
1
1

Угол между двумя прямыми. Куб
Задача 2
A
C
B
D
Решение:
1
1
1
1

Угол между двумя прямыми. Куб
Задача 3
Решение:
1
1
1
1

Угол между двумя прямыми. Куб
Задача 4
Решение:
1
1
1
1

Повторяем теорию:
Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?
Как находят координаты середины отрезка?
Как находят длину вектора?
Как находят расстояние между точками?
Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?

Повторяем теорию:
Какие векторы называются перпендикулярными?
Что называется скалярным произведением векторов?
Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?
Чему равен скалярный квадрат вектора?
Свойства скалярного произведения?
0
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Направляющий вектор прямой.
Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей.
а
В
А

Визуальный разбор задач из учебника (п.51).
№1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых.
а)
б)
θ
θ
φ = θ
φ = 1800 - θ

Визуальный разбор задач из учебника (п.51).
№2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости..
а)
б)
α
а
φ
θ
α
а
φ
φ
θ

№ 464 (а)
Дано:
Найти: угол между прямыми АВ и CD.
Ваши предложения…
Найдем координаты векторов
и
2. Воспользуемся формулой:
φ = 300

№ 466 (а)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1
точка М принадлежит АА1
АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС
Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1
1. Введем систему координат.
х
у
z
2. Рассмотрим DD1 и МN.
М
N
3. Пусть АА1= 4, тогда
4. Найдем координаты векторов DD1 и MN.
5. По формуле найдем cosφ.
Ответ:

Задача.
Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; DA = 2; DC = 2; DD1 = 3.
1
2
3
Найти угол между прямыми СВ1 и D1B.
х
у
z
Ваши предложения…
1. Введем систему координат Dxyz
2. Рассмотрим направляющие
прямых D1B и CB1.
3. По формуле найдем cosφ.

№ 467 (а)
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
1 способ:
1. Введем систему координат Bxyz
х
у
z
2. Пусть АА1= 2, тогда
АВ = ВС = 1.
3. Координаты векторов:
4. Находим косинус угла между
прямыми:

х
у
z
№ 467 (а)
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
2 способ:
1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы между ВD и ВА1; ВD и СD1 – равны.
2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5
3. ΔВDА: по теореме Пифагора
4. По теореме косинусов:

п. 52,
№464 (б, в, г)
№466 (б, в)
Домашнее задание: