Замощение плоскости правильными многоугольниками. 5 класс

Сумма углов многоугольника равна 180º·(n-2), где n – количество углов.
Например, у треугольника сумма углов равна 180º, т.к. он имеет три угла, а сумма углов квадрата - 360º, т.к. у него четыре угла.
Замощение плоскости правильными многоугольниками

Замощение плоскости правильными треугольниками
Дан равносторонний треугольник:
Каждый из его углов равен: 180º:3=60º
1
2
3
4
5
6
На плоскости 360º замощают 6 углов равностороннего треугольника.

Замощение плоскости правильными четырёхугольниками
Дан правильный четырёхугольник (квадрат):
Каждый из его углов равен: 360º:4=90º
1
2
3
4
На плоскости 360º замощают 4 угла правильного четырёхугольника.

Замощение плоскости правильными
треугольниками и четырёхугольниками
Каждый из углов правильного треугольника равен 60º, а правильного четырёхугольника - 90º. На плоскости 360º можно замостить двумя углами правильного четырёхугольника и тремя углами правильного треугольника, т.к. 90º+90º+60º+60º+60º=360º.
Вывод
Плоскость можно замостить комбинацией из правильных треугольников и правильных четырёхугольников.

Правильный пятиугольник
Каждый из углов правильного пятиугольника равен 108º. Если мы попробуем замостить плоскость правильными пятиугольниками, то у нас это не получится, т.к. при сложении, например, трёх его углов: 108º·3=324º¸(324º<360º), а при сложении четырёх углов: 108º·4=432º¸(432º>360º). Из этого можно сделать вывод, что на плоскости 360º нельзя замостить углами правильного пятиугольника, а, следовательно, плоскость невозможно замостить правильными пятиугольниками.
Замечание:
В пространстве комбинацией из правильных пятиугольников и правильных шестиугольников можно замостить сферу.

Замощение плоскости правильными шестиугольниками
Дан правильный шестиугольник:
Каждый из его углов равен: 720º:6=120º
1
2
3
На плоскости 360º замощают 3 угла правильного шестиугольника.

Замощение плоскости правильными
шестиугольниками и треугольниками
В правильном шестиугольнике каждый угол равен 120º, а в правильном треугольнике - 60º. На плоскости 360º можно замостить двумя углами правильного шестиугольника и двумя углами правильного треугольника, т.к. 120º+120º+60º+60º=360º
Вывод
Плоскость можно замостить комбинацией из правильных шестиугольников и правильных треугольников.

Более сложное замощение:

Замощение плоскости правильными
треугольниками, четырёхугольниками
и шестиугольниками
Каждый угол правильного треугольника равен 60º, правильного четырёхугольника - 90º, правильного шестиугольника - 120º. На плоскости 360º замощают один угол правильного треугольника, два угла правильного четырёхугольника и один угол правильного шестиугольника: 60º+90º+90º+120º=360º.
Вывод:
Плоскость можно замостить комбинацией из правильных треугольников, четырёхугольников и шестиугольников.

Более сложное замощение:

Замощение плоскости правильными
четырёхугольниками и восьмиугольниками
Каждый угол правильного восьмиугольника равен 135º, у правильного четырёхугольника все углы по 90º. На плоскости 360º можно замостить двумя углами по 135º и одним в 90º, т.к. 135º+135º+90º=360º
Вывод
Плоскость можно замостить комбинацией из правильных восьмиугольников и правильных четырёхугольников.

Замощение плоскости правильными двенадцатиугольниками,
шестиугольниками и четырёхугольниками.
Каждый угол правильного двенадцатиугольника равен 150º, правильного шестиугольника -120º, правильного четырёхугольника - 90º. На плоскости 360º замощают один угол правильного двенадцатиугольника, один угол правильного шестиугольника и один угол правильного четырёхугольника.
Вывод:
Плоскость можно замостить комбинацией из правильных двенадцатиугольников, шестиугольников и четырёхугольников.