Высшая математика. Глава 1. Элементы линейной алгебры. Лекция 1

2. Определители

Вильгельм Готфрид Лейбниц
(1646-1716) — саксонский философ(1646-1716) — саксонский философ, логик(1646-1716) — саксонский философ, логик, математик,
механикмеханик, физикмеханик, физик, юрист,
историкисторик, дипломатисторик, дипломат, изобретательисторик, дипломат, изобретатель и языковед.
Понятие «определитель» принадлежит Г. Лейбницу (1678).

Обозначения определителя матрицы А:
|A|, det A, Δ.
Определитель (детерминант) –
числовая характеристика квадратной матрицы.

Невырожденная матрица
Квадратная матрица А называется невырожденной, если её определитель
det А≠0.
В противном случае (det А = 0) матрица А называется вырожденной.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить
число det A, называемое ее определителем, следующим образом:
1. n = 1. А = (a1); det A = a1
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
2. n = 2.
Пример.

3. n = 3.
Для вычислении определителя 3-го порядка используют правило треугольников (Саррюса).

Пример. Вычислить определитель третьего порядка
Δ=5•1•(-3) +
+(-2)•(-4)•6 +
+ 3•0•1-
–6•1•1–
–3•(-2)•(-3) –
– 0•(-4)•5 =
–15+48–6–18=
=48–39=9.
Δ=

Пример. Вычислить определитель с помощью
правила диагоналей
- - - + + +
Δ=5•1•(-3) +
+(-2)•(-4)•6 +
+ 3•0•1-
–(6•1•1+
+ 0•(-4)•5+
+3•(-2)•(-3)) =
–15+48–(6+18)=
=33–24=9.
Δ=

Определитель произвольной треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

Минор элемента аi j
Минором некоторого элемента aij квадратной матрицы А n-го порядка называется определитель n –1-го порядка матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания из А строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент aij , минор обозначается Мij.
M31=5 M14=11
a23=4

Алгебраическое дополнение Aik
Алгебраическим дополнением элемента aik квадратной матрицы А называется число Аik :
Для предыдущего примера:
А23= –М23= –13 А31= М31= 5 А14= –М14= –11

ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любого ее ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Разложение определителя по элементам первой строки:
Пьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (1749Пьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (1749 - 1827Пьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (1749 - 1827) —французскийПьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (1749 - 1827) —французский математикПьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (1749 - 1827) —французский математик, механикПьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (1749 - 1827) —французский математик, механик, физикПьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (1749 - 1827) —французский математик, механик, физик и астроном

ПРАВИЛО ЧУЖИХ ДОПОЛНЕНИЙ
Сумма произведений элементов любого ряда кв. матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ее параллельного ряда равна нулю.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1. Транспонирование матрицы не меняет значения ее определителя.

Свойства определителей
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
3. Если соответствующие элементы двух параллельных рядов равны или пропорциональны, то определитель равен 0.
4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя.
5. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.
6. Определитель матрицы, содержащей целый ряд из нулей, равен нулю.
7.
8.

9. Если элементы какой-либо ряда квадратной матрицы А состоят из двух слагаемых, то определитель А равен сумме определителей двух матриц, различающихся между собой только элементами этого ряда, бывшими ранее отдельными слагаемыми.