окружность — повторение

Окружностью называется фигура , которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности.
Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см , а расстояние от О до точек С и D , не лежащих на ней, не равно 5 см.
Окружность.

СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ КАСАТЕЛЬНОЙ.
Отрезки двух касательных, проведенных к окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.
Докажите теорему самостоятельно.

ЗАДАЧА.
Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найти периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120°.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК.
Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки.

ТЕОРЕМА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК.
Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.
Дано: а; АВ ⊥ а; АО = ОВ.
Доказать: а - геометрическое место точек, равноудалённых от А и В.
Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В.

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР.
Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему.
Докажите , что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности.

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность.
Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности.
Где лежит центр окружности, описанной около треугольника?

Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?
Задача.

ЗАДАЧА.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см.

КАСАТЕЛЬНАЯ
К ОКРУЖНОСТИ
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания.
Что можно сказать о сторонах треугольника СDЕ по отношению к окружности?

ОКРУЖНОСТЬ,
ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности.
Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник?
Треугольник ABC-описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA-равные?