ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Лекция 1. час 1. Введение.
Содержание курса.
1.1. Цель и задачи курса. Определение понятия "физические свойства". Программа курса, его связь с другими дисциплинами.

Цель и задачи курса
Цель курса:
Научить связывать физические свойства материалов с их структурой и фазовым состоянием.
Задачи курса:
Объяснить принципы и механизмы формирования физических свойств материалов;
Научить использовать физические свойства для анализа структуры, фазового состояния.

Распределение времени

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ
Лекции – 34 ч
6 Лабораторных работ – 34 ч
Самостоятельная работа – 41 ч
Семестровый контроль – ЭКЗАМЕН
Домашние задания
№ 1-7
Коллоквиумы:
№ 1; № 2; № 3

Программа курса
Тема 1. Введение (1 час)
Тема 2. Тепловые свойства (теплоемкость и энтальпия), термическое расширение, теплопроводность (15 часов)
Тема 3. Электрические свойства (8 часов)
Тема 4. Магнитные свойства (12 часов)
КР № 1 по введению и теме 2;
КР № 2 по теме 3;
КР № 3 по теме 4.

Литература
Лившиц Б.Г., Крапошин В.С., Линецкий Я.Л. Физические свойства металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1980, 318 с.

Связь с другими дисциплинами
Физика
Физическая химия
Фазовые равновесия и структурообразование
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ТЕХНОЛОГИЯ МАТЕРИАЛОВ
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Классификация физических свойств
по влиянию микроструктуры и дефектов кристаллической решетки:
1. структурно-чувствительные свойства (ρ, λ, μ, Нс и др.) – изменяются на десятки и сотни %;
2. структурно-нечувствительные свойства (модули упругости, намагниченность насыщения и др.) – изменяются очень слабо (< 1 %).
- по виду физического эффекта (воздействия и отклика): тепловые, электрические, магнитные, упругие, оптические.

Влияние обработки на свойства стали У8
Отжиг Сфероидизирующий Закалка отжиг
Bs=2,1 Тл Вs=2,1 Тл Вs=1,8 Тл Нс=20 Э Нс=8 Э Нс=50 Э
Е1=Е2

Классификация по виду физического эффекта
Физический эффект, «порождающий» физическое свойство, может быть охарактеризован путем описания воздействия на объект и возникающего в результате воздействия:
Воздействие → Объект → Отклик.
В распространенном случае линейной связи между откликом и воздействием физическое свойство определяется как коэффициент пропорциональности между соответствующими физическими величинами.
Примером может служить закон Ома:
j = γ E,
где удельная электропроводность γ (физическое свойство) вводится как коэффициент пропорциональности между напряженностью электрического поля E (воздействием) и плотностью электрического тока j (откликом).

Основные физические свойства, определяемые линейными соотношениями

Комментарии
Различие между воздействием и откликом иногда довольно условно. Под воздействием понимают физическую величину, значение которой экспериментатор в определенных пределах может изменять произвольно. Однако в случае теплоемкости, например, можно передавать телу определенное количество тепла и измерять в качестве отклика изменение температуры. Можно поступать и наоборот. Тем самым, что выбирается в качестве воздействия, а что – в качестве отклика, выбирается произвольно.
Для того чтобы физическое свойство характеризовало именно материал, а не конкретный образец, это свойство должно быть интенсивной величиной. Интенсивная величина не зависит от размеров образца и количества вещества в нем в противоположность экстенсивной величине. Для выполнения указанного требования в соотношении, определяющем физическое свойство, надо использовать воздействие и отклик, представленные в виде интенсивных величин. В случае теплоемкости это осуществляют, переходя от теплоемкости тела к удельной теплоемкости (в расчете на единицу массы) или к молярной теплоемкости. При изучении термического расширения такой переход производят заменой абсолютного удлинения образца при нагреве на относительное удлинение (абсолютное удлинение делят на начальную длину). В случае определения удельного сопротивления ρ (обратной величины удельной электропроводности γ) вместо обычного закона Ома U = I R (U – напряжение, I – сила тока, R – сопротивление) следует использовать закон Ома в дифференциальной форме. Для этого разность потенциалов U, зависящую от расстояния между точками l, где измеряются потенциалы, делят на это расстояние и получают напряженность электрического поля E = U/l. От силы тока переходят к его плотности путем деления на площадь поперечного сечения образца (j = I / S). В результате от величины электрического сопротивления R, зависящей от размеров образца, переходят к удельному электрическому сопротивлению ρ = RS/l, которое характеризует не образец, а материал. При этом закон Ома приобретает вид равенства E = ρ j, которое справедливо для любой точки внутри образца.
Линейные определяющие соотношения описывают самые важные изучаемые в материаловедении физические свойства.
Существуют физические свойства, описывающие отклик материала при приложении к нему не одного воздействия, а двух. В качестве примера можно привести эффект Холла – возникновение электродвижущей силы в образце, через который пропускают электрический ток и одновременно прикладывают магнитное поле. Физическим свойством материала, порожденным этим эффектом, является постоянная Холла RH – коэффициент пропорциональности между напряженностью возникающего дополнительного электрического поля EH, с одной стороны, и векторным произведением индукции магнитного поля В и плотностью электрического тока j, с другой стороны:
EH = RH B × j.

Некоторые особенности физических свойств наноматериалов.
В наноструктурных материалах часто изменяются фундаментальные характеристики, такие как Точка Кюри, температура перехода в сверхпроводящее состояние, намагниченность насыщения.
Наноразмеры таких материалов влияют как на структурно-чувствительные, так и на структурно-нечувствительные свойства, поскольку при сверхмалых размеров частиц поликристалла включаются некоторые квантовые эффекты, которые не проявляются в массивных образцах.
Особую роль играют поверхностные эффекты.

Лекция 2. час 2.
Тема 1. Тепловые свойства.
1. Общие понятия и определения (энтальпия, виды теплоемкости и связь между ними, эндо- и экзотермические реакции). Средняя энергия классического осциллятора. Закон Дюлонга и Пти. Источники тепловых свойств металлов и сплавов.

Энтальпия – функция состояния,
определяемая соотношением: H=U+PV
При изобарическом процессе P=const: ΔH=ΔU+PΔV (A=PΔV)
Первое правило термодинамики ΔU=Q-A
ΔH=Q=сmT
Теплоемкость тела:

Виды теплоемкости
Теплоемкость тела: C = δQ/dT [Дж/К].
Удельная теплоемкость:
Суд = С/m [Дж/кг·К].
Молярная теплоемкость:
Cm = C/(m/μ) = C/(N/NA) [Дж/моль·К].
Объемная теплоемкость:
Соб = С/V [Дж/м3·К].
Теплоемкость в расчете на одну частицу:
Счаст = С/N [Дж/К].

Теплоемкость для разных условий передачи тепла
Теплоемкость при постоянном объеме:
CV = (∂U/∂T)V=const.
Теплоемкость при постоянном давлении:
Cp = (∂H/∂T)P=const.
Если не поддерживать определенное условие передачи тепла, то теплоемкость не будет характеризовать свойства тела (не будет функцией состояния).
Всегда Cp > CV
(тепло расходуется не только на повышение внутренней энергии, но и на совершение работы против внешнего давления)

Различие теплоемкостей
Объемный коэффициент термического расширения
Коэффициент всестороннего сжатия (сжимаемость)

Формула Нернста-Линдемана
Причем a≠f(T)
Для металлов ΔС очень мала:
СP ≈ CV . (1+10-4T), НО
Для W - при 300 К ΔС/СP≈ 1%
- при 2200 К ΔС/СP≈ 10%
Для Mo - при 2000 К ΔС/СP≈ 10%
Вывод: разница увеличивается с ростом температуры

Количество теплоты, выделяемое при
реакции называется
тепловым эффектом.
Различают два типа тепловых эффектов.
Реакции, протекающие с
выделением энергии (Δс<0),
называют
экзотермическими.
Реакции, при которых энергия
поглощается(Δс>0),
называют
эндотермическими.

Составляющие теплоемкости
Cp = Cрешетки + Сэл =
= Сидеальной решетки + Сдефект + Сэл =
= Сгармонич.колебаний + Cанг + Сдефект + Сэл,
где
Cрешетки – решеточная теплоемкость (колебаний ионов в узлах кристаллической решетки),
Сэл – электронная теплоемкость (вклад коллективизированных электронов),
Сдефект – вклад дефектов кристаллической решетки (часто определяется в основном вакансионной составляющей).

Универсальная кривая теплоемкости твердых тел

Решеточная теплоемкость
1 классическое приближение
Средняя энергия классического
осциллятора на 1 степень свободы:
на 3 степени свободы:
Тепловая энергия – это средняя кинетическая энергия всех частиц, на 1 моль вещества
Для классического осциллятора Ек=Еп :
Недостатки: 1) Вдвое меньше, чем при эксперименте (при 300 К около 3R);
2) Нет температурной зависимости

Решеточная теплоемкость
2 классическое приближение
Всего 6 степеней свободы –
3 - поступательное движение
3 - колебательное движение
- закон Дюлонга и Пти, т.е. 6 кал/(моль.К)
Реально для металлов
С≈5,7-6,2 кал/(моль.К) при 300 К
Недостатки - нет 1) Температурной зависимости
2) Совпадения с низкими и высокими температурами

Лекция 2.
2. Теории теплоемкости Эйнштейна и Дебая. Дебаевская температура как характеристика сил связи между атомами и её связь с другими свойствами материалов. Ангармонизм колебаний атомов и его влияние на теплоемкость.

Теория теплоемкости Эйнштейна
Предположения:
1. Твердое тело – совокупность атомов, которые колеблются независимо друг от друга, гармонически, с одинаковой частотой
ω = (f/M)1/2,
где f = φ’’(r0), М – масса атома.
2. Выполняется правило Планка (квантования энергии осциллятора):
εn = ħω (n + 1/2), n = 0,1,2,…
Результат:

Достоинства и недостатки теории Эйнштейна
Достоинства:
Качественно верно описывает зависимость Cv(Т) и ее связь с жесткостью межатомных связей.
Правильно предсказывает предельные значения Cv
(0 при Т = 0 К и 3R при Т>> ħω/k).
Недостатки:
предсказывает экспоненциальное увеличение Cv при низких температурах вместо наблюдающегося закона Т3;
завышает значения Cv при низких температурах.
Основная причина расхождений:
неучет связанного характера колебаний атомов (существования спектра колебаний вместо одной частоты).

Теория теплоемкости Дебая
Основные положения:
1. При нагреве возникают связанные (коллективные) колебания атомов. Распространение колебаний в кристаллической решетке представляет собой упругие волны, движущиеся со скоростью звука vзв и волновым вектором k.
2. Колебание отдельного атома можно разложить на независимые гармоники – т.н. нормальные колебания, каждое из которых имеет свою частоту ω.
3. Дисперсия в среде отсутствует, т.е. vзв не зависит от частоты, что соответствует линейному закону дисперсии: ω(k) = vзвk.
4. Среда – упруго изотропная, т.е. vзв не зависит от направления.
5. Общее число нормальных колебаний Z = 3N, где N – число атомов.
6. Энергия нормальных колебаний квантуется:
εni = ħωi (n + 1/2).

Спектр колебаний решетки по Дебаю
характеризуется функцией
g(ω) = dZ/dω
– плотностью распределения числа нормальных колебаний по частотам.
В теории Дебая g(ω) = 3Vω2/2π2vзв3.
Конечность числа нормальных
колебаний (Z = 3N) заставила
ввести максимальную частоту
колебаний (дебаевскую частоту)
ωmax:
0∫ωmax g(ω)dω = 3N,
откуда
ωmax = (6 π2N/V)1/3vзв.

Расчет теплоемкости по Дебаю
CV = ∂U/∂T = ∂/∂T 0∫ωmax <ε(ω)>g(ω) dω,
CV = 9R (T/θ)3 0∫θ/T x4 ex (ex – 1)–2 dx,
где θ = ħωmax/k – температура Дебая,
x = ħω/kT.
Предельные случаи:
1. низкие температуры, T << θ,
CV = (12π4/5)R (T/θ)3 ≈ 234 R (T/θ)3 – закон Т3 Дебая;
2. высокие температуры, T >> θ,
CV = 3R ≈ 25 Дж/моль·К – закон Дюлонга-Пти.

Температура Дебая
θ = ħωmax/k = (6 π2/Vат)1/3 vзв.
При Т > θ возбуждены все частоты нормальных колебаний, и повышение энергии колебаний при нагреве осуществляется за счет увеличения амплитуды. При Т< θ в процессе охлаждения часть нормальных колебаний начинает «вымерзать».
θ = (6 π2/Vат)1/3 vзв ~ (D/M·Vат2/3)1/2.
Высокая θ – у материалов с высокой энергией связи и малой массой атомов.
Формула Линдемана
θ = а (Тпл/M·Vат2/3)1/2,
где а = 137 (а.е.м.)1/2 К1/2 Ǻ.

Фононы
Любую волну можно представить, как квазичастицу.
Фонон – квазичастица, описывающая нормальные колебания кристаллической решетки.
Энергия фонона εфон = ħω,
скорость фонона – скорость звука,
импульс фонона p = ħk = εфон/vзв.
Теплоемкость решетки тождественна фононной теплоемкости.
Фонон является квантовой частицей и даже при Т=О К в веществе имеется энергия нулевых колебаний не равная нулю: ε0=(ħω/2).

Число фононов
Число фононов
n = 1/[exp(1/x)-1],
где x = ħω/kT.
Общее число фононов
Nфон = 0∫ωmax
g(ω) dω.
при Т >> θ Nфон ~ T/θ,
при Т << θ Nфон ~ (T/θ)3.
Рост числа фононов с температурой отражает рост амплитуды колебаний атомов.

Ангармонизм колебаний атомов
Между коэффициентом термического расширения α и теплоемкостью ср существует термодинамическая связь α≈ Аср
На фононном языке явление ангармонизма можно трактовать, как взаимодействие фононов

Влияние ангармонизма колебаний атомов
на теплоемкость
Решеточная теплоемкость с учетом ангармонизма равна:
Здесь : g – коэффициент ангармонизма;
f – квазиупругий коэффициент, характеризующий уровень сил связи в решетке.
Из этой формулы следует, что ангармонизм обуславливает линейную зависимость Среш от температуры Т

Вакансионный вклад в теплоемкость
Равновесная концентрация вакансий:
Появление вакансий приводит к росту энтальпии
Вакансионный вклад в теплоемкость
Таким образом в районе точки плавления:
ΔH = nв·NA·Uo

Температурная зависимость решеточной теплоемкости

Заключение
Теплоемкость «скачет» - существует вклад, зависящий от положения в таблице Менделеева
При высоких температурах реальная завимость С(Т) выше, т.е. есть еще составляющая теплоемкости~T
Нет совпадения при Т менее 3-4 К, где С~T
В ферромагнетиках при Т менее 2 К С~T3/2

Лекция 3. 1 час. Электронная составляющая теплоемкости
3.1 Электронная составляющая теплоемкости простых и переходных металлов. Общие закономерности теплоемкости металлов: теплоемкость при низких и высоких температурах, зависимость от положения в таблице Менделеева, влияние ферромагнетизма.

энергия Ферми
Рассмотрим энергетический спектр одновалентного металла – в его зоне N-уровней, но занято N/2
Значение энергии на верхнем занятом уровне называют энергией Ферми Ef
Выделяют кинетическую
энергию Ферми εf = Ef – Emin
Для большинства металлов
εf ≈ 5 ÷ 10 эВ

Функция плотности электронных состояний
Функция плотности электронных
состояний отражает число уровней
в интервале энергий от ε до ε+Δε
Плотность электронных состояний на уровне Ферми – один из важнейших параметров металлов
Из статистики Ферми-Дирака для вырожденного газа:

Электронная составляющая теплоемкости
Под действием тепловых флуктуаций kT часть электронов может перейти на незанятые уровни с ε>εf
Энергия системы при температуре Т≠0 К
где 3kT/2 – энергия на 1 частицу:

Анализ электронной составляющей теплоемкости простых металлов
Учет неидеальности, не одновалентности и квантовой статистики
Оценка Сэл при комнатной температуре

Электронная составляющая Сэл переходных металлов
Вывод – у переходных металлов электронная составляющая теплоемкости на порядок выше, чем у простых
Причина – наличие d-электронов, которые дают свой вклад в плотность электронных состояний

Зависимость Сэл от положения в таблице Менделеева

Магноны и их влияние на теплоемкость
Магнон – квазичастица, описывающая магнитное возмущение спиновой системы
↑↑↑↑↑↑↑↑ - Ферромагнетик при Т=0 К
↑↓↑↑↑↑↑↑ - с ростом температуры идет рост числа
↑↓↑↓↓↑↑↑ опрокинутых спинов, т.е. рост числа магнонов
Магноны увеличивают внутреннюю энергию системы и вносят вклад в теплоемкость
Коэффициент ζ мал, поэтому роль магнонов проявляется только при Т→0 К.

Температурная зависимость теплоемкости ферромагнетика вблизи 0 К

Лекция 3. Час 2
Поведение теплоемкости при фазовых переходах.

Связь теплоемкости с функциями термодинамического состояния и энергией Гиббса
Фазовые переходы бывают 1 и 2 рода
Отличие – разное изменение функций термодинамического состояния (ФТДС) – свободного объема V, энтропии S, энтальпии H
Следствие – изменение первых производных от ФТДС тоже разное
Вывод: С, αV, β - первые производные ФТДС и вторые производные энергии Гиббса

Особенности ФП 1 и 2 рода

Поведение функции термодинамического состояния и теплоемкости при фазовых переходах
При ФП II рода на С(Т) наблюдается λ-особенность
αV ~ - β
С ~ ±αV

Степень симметрии при фазовом переходе второго рода
Фазовые переходы II рода обусловлены изменением атомно-электронной (спиновой) системы данной фазы.
Степень симметрии характеризуют параметром упорядоченности η
При разных фазовых переходах II рода параметр упорядоченности η имеет различный физический смысл

Примеры влияния ФП на теплоемкость.
1. Плавление металлов (ФП I рода)
Для большинства металлов
ΔS ≈ 1,5÷2,5 кал/(моль.К)
Исключение – металлы со сложной слоистой структурой, в которой сильно выражена ковалентная связь. При плавлении связь становится металлической, т.е. ослабляется

Магнитные превращения
Переходы - ФМ↔ПМ; АФМ ↔ПМ; ФМ ↔АФМ
При магнитном превращении происходит изменение степени упорядоченности спиновой системы. В качестве параметра упорядоченности выступает намагниченность I.
В точке перехода на С(Т)
наблюдается λ-особенность.

Исключения
В некоторых металлах при магнитных переходах происходит резкое изменение самопроизвольной магнитострикции (резко увеличивается объем, а кристаллическая структура металла не меняется). Из-за этого на зависимости С(Т) эти фазовые переходы проявляются как фазовые переходы первого рода (наблюдается разрыв), и таковыми их и считают.

Переход в сверхпроводящее состояние – ФП II рода
При высоких температурах из-за сильного колебания иона решетки влияние электрона не велико, но с понижением температуры влияние усиливается.
Один электрон влияет на ион, а тот опосредовано влияет на другой электрон. Образуется куперовская пара
Физический смысл параметра упорядоченности η - концентрация куперовских пар

Переход в сверхтекучее состояние – ФП II рода
Гелий – квантовая жидкость с огромными нулевыми колебаниями, амплитуда которых при приближении к 0 К сравнима с размером атома. «Заморозить» гелий можно только под давлением Р=26 атм
Другие примеры
ФП II рода
1. Образование экситонных пар (пар дырка-электрон)
2. Образование фаз спинового стекла

Упорядочение

Теплоемкость чистого железа

Лекция 4. час 1
Теплоемкость
сплавов и
соединений

Теплоемкость сплавов
Все изложенные ранее закономерности выполняются и для сплавов.
Имеющиеся отличия обусловлены тем, что при образовании фаз как постоянного (соединения), так и переменного (твердые растворы, промежуточные фазы) состава возможно значительное изменение уровня сил связи – меняется функция распределения N(ε), концентрация электронного газа, электронная структура, иногда может измениться даже тип связи по сравнению с металлами компонентами.
При Т«Θд С=γТ+αТ3. При фазообразовании меняются и γ и α, но главным образом γ, т.к. связь в фазе осуществляется через электроны. Пример:
чистый Ni γ=73,9.10-4 Дж/(моль.К2); α=0,21.10-4 Дж/(моль.К4);
Ni+1,5ат%Cr Δγ=6,3.10-4 Дж/(моль.К2); Δα=0,04.10-4 Дж/(моль.К4).
Чем выше теплота образования соединения, тем сильнее меняется γ. При этом Δγ наименьшая у твердых растворов, выше у фаз с ковалентной связью, а наибольшая у фаз с ионной связью. Усиление ковалентной и ионной связи в связи с уменьшением концентрации электронов N означает уменьшение γ

Расчет теплоемкости соединения
Для теплоемкости при Т > θ справедливо
правило аддитивности Неймана-Коппа :
где x1 и x2 – молярные доли компонентов в соединении или фаз в гетерогенном сплаве;
Пример:
С(Fe3C)=3C(Fe)+1C(C)=3.6,03+1.7,2=25,3 кал/(моль.К)
Для теплоемкости интерметаллидов при Т > θ
погрешность не более 6%
При Т < θ наблюдаются значительные отступления от правила Неймана-Коппа из-за неаддитивности γэл.

Расчет теплоемкости гетерогенной системы
где q1 и q2 – массовые доли.
Пример: Латунь Л80 (80%Cu+20%Zn)
Cуд(Cu)=0,0909 кал/(моль.К);
Cуд(Zn)=0,0918 кал/(моль.К) Cуд(Л80)=0,8.0,0909+0,2.0,0918=0,0911 кал/(моль.К)
Суд(эксперимент Л80)=0,0929 кал/(моль.К)
ΔС=0,0018 кал/(моль.К) или ΔС/Судэксперимент≈2%
При Т < θ наблюдаются значительные отступления от правила Неймана-Коппа из-за неаддитивности γэл.

Примеры расчета для У8

Образование твердых растворов Ni
При малых концентрациях (слабые растворы) наблюдается линейная зависимость и правило Неймана-Коппа хорошо выполняется (кроме низких температур – квантовые эффекты, и высоких температур – электронная составляющая теплоемкости).

Электронная теплоемкость твердых растворов
При легировании изменяются N и N(ε), поэтому γ может как увеличиваться, так и уменьшаться.
Пример:
γ(Nb)=81,9.10-4 Дж/(моль.К2)
γ(Sn)=18,7.10-4 Дж/(моль.К2)
γ(Nb3Sn)=546.10-4 Дж/(моль.К2)

Лекция 4. час 2.
2.4. Зависимость теплоемкости от размеров структурных составляющих материалов. Теплоемкость сплавов в кристаллическом, микрокристаллическом и нанокристаллическом состоянии. Тепловые свойства наноматериалов: теплоемкость ультрадисперсных материалов, изменение температуры Дебая в ультрадисперсных средах.

Теплоемкость наноматериалов
Теплоемкость наноматериалов отличается от теплоемкости массивного материала такого же химического и фазового состава.
Причины:
роль поверхностных явлений роль квантовых эффектов

Влияние размера дисперсных частиц на cпектр колебаний решетки
В ультрадисперсных системах могут возникать волны, длина которых не превышает удвоенного размера частицы d. В связи с этим кроме верхнего ограничения по частоте – дебаевской частотой ωд – спектр частот ограничен и снизу – минимальной частотой ωmin~1/d
Для малых частиц прямоугольной формы
где V – объем, S – площадь, L – длина ребра частицы, а1, а2, а3 - константы

Зависимость теплоемкости от параметров частиц
Теплоемкость крупнокристаллического
тела объемом V по Дебаю при T << θ
Теплоемкость дисперсных
прямоугольных частиц
Вывод – теплоемкость дисперсных частиц при T << θ выше теплоемкости массивного тела из-за вклада в теплоемкость поверхности частицы (параметры S и L).

Квантовый подход к определению влияния размера частицы
В квантовом приближении для сферической частицы радиусом r общее число колебаний
где kд – волновой вектор,
соответствующий максимальной
частоте колебаний
При росте частицы (r→∞) второй и третий члены (поверхностный и линейный вклады) обращаются в нули.
При Т→∞ теплоемкость наноматериала убывает быстрее, чем теплоемкость крупнокристаллического материала, поэтому ΔС=СV(r)-CV<0

Температурная зависимость теплоемкости наноматериалов

Экспериментальные данные
Для наночастиц серебра То≈0,7 К
Теплоемкость наночастиц свинца (d=2,2 нм; 3,7 и 6,6 нм) и индия (d=2,2 нм) при Т<10 К – на 25-75 % больше теплоемкости крупнокристаллических металлов
Для наночастиц Ni (d=22 нм) Сv(r)/Cv≈2 при 300-800 К
Теплоемкость наночастиц меди в 1,2-2 раза выше до 450 К, чем для «массивной» меди. При Т<20 К C(T)=aT+bT2+cT3

Температурная зависимость теплоемкости Pd
▀ - массивный Pd; ♦ - частицы d=6,6 нм;
▲ - частицы d=3,0 нм

Теплоемкость при постоянном давлении материалов в разном структурном состоянии

Влияние дисперсности материала на температуру Дебая
Соотношение между температурами Дебая массивного Θ и ультрадисперсного материалов Tд
где k – волновой вектор,
r – размер ультрадисперсных частиц
Вывод: чем меньше размер частиц, тем больше их температура Дебая отличается от таковой для массивного материала.