Презентация на тему Объём пирамиды Геометрия 11 класс

Содержание

Слайд 2

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H.

A

B

C

S

O

H

O1

h

Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H. A B C S
основания и находящееся на расстоянии h от её вершины.

Т.к. ΔABCA1B1C1, то по свойству площадей подобных фигур :

A1

C1

B1

h ∈[0; H ]


Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

Слайд 3

h

H

Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную

h H Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить
сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты.

h ∈[0; H ]

Слайд 4

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с
равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.

H

Sосн.1= Sосн.2

V1 = V2

h

Sсеч.1= Sсеч.2

Слайд 5

A

B

C

B1

A1

C1

C

A1

B

Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1.
Разобьем её на две части секущей плоскостью (A1BC).

Получились

A B C B1 A1 C1 C A1 B Рассмотрим произвольную треугольную
две пространственные фигуры: треугольная пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе пирамиды с вершиной A1).

Слайд 6

A

C

B1

A1

C1

C

A1

B

B

Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью (A1C1B) на две треугольные пирамиды:

A C B1 A1 C1 C A1 B B Теперь разобьём четырёхугольную
A1BB1C1 и A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1).

A1

C1

B

Слайд 7

A

C

B1

A1

C1

C

A1

B

B

A1

C1

B

У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как противоположные основания призмы)

A C B1 A1 C1 C A1 B B A1 C1 B
и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны.

У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A1. Значит, их объемы также равны.

Слайд 8

A

C

B1

A1

C1

C

A1

B

B

A1

C1

B

Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:

Значит, объем пирамиды в

A C B1 A1 C1 C A1 B B A1 C1 B
три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

Слайд 9

h

H

h

Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции,

h H h Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади
зависящей от расстояния h:

h ∈[0; H ]

0

Слайд 10

Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей вершиной

Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей вершиной
и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды:

S

A3

An

A2

A1

H