Треугольник Паскаля!!!

Вы уже знаете тождества:
(а+b)2=а2+2аb+b2
(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3
Могли ли бы вы раскрыть скобки в выражении (а+b)4 ?
Спрогнозируйте количество членов, значения коэффициентов, поведение показателей степеней.

Проверьте себя одним из способов:
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=…;
(a+b)4=((a+b)2)2=…;
(a2+b)4=(a+b)2(a+b)2=…
Если вы были внимательны, то получили тождество:
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

При переходе от одного слагаемого к следующему степени a убывают, а степени b возрастают.
Степень каждого одночлена, входящего в многочлен, равна 4.
Число членов многочлена на единицу больше, чем показатель степени двучлена.
Первый коэффициент, отличный от единицы, совпадает с показателем степени двучлена.
Коэффициенты многочлена симметричны.
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Спрогнозируйте, пользуясь наблюдениями, какой многочлен стандартного вида содержится в правой части формулы
(a+b)5 =…?

Выпишем коэффициенты многочленов по строкам:
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Существует ли связь между коэффициентами различных степеней двучлена, т.е. между строками этой таблицы? Можно ли каждую следующую строку таблицы записать, зная предыдущую?

Заметьте:
-таблица ограничена единицами;
-каждое число, стоящее внутри таблицы,
представляет собой сумму чисел, стоящих над ним (в предыдущем ряду) слева и справа:
4=1+3; 6=3+3; 4=3+1; 5=1+4; 10=4+6;
10=6+4; 5=4+1. 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Добавим к имеющимся строкам строку из одной единицы. Получим треугольник коэффициентов.
Итак, мы нашли закономерность образования коэффициентов степени двучлена.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1