Учебно-тренировочные материалы (задачи с практическим применением)

Математическое открытие
Если вы хотите научится плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи — решайте их.
Д. Пойа.

Задача 1
Спортзал имеет форму прямоугольного параллелепипеда с основанием 16 на 25 метров и высотой 8 метров. В зале имеются 8 окон размером 4 м х 3 м каждое и две двери размерами 2 м х 2,5 м каждая. Требуется нанести специальное покрытие на стены зала. Найдите стоимость этих работ в тысячах рублей, если квадратный метр покрытия стоит 200 рублей приобрести покрытие надо с запасом 10%, а стоимость работ по нанесению покрытия составляет 70% от стоимости нанесенного покрытия.

Решение задачи
25 м
16 м
8 м

Sстен= 82 • 8 =656м²; Sокон= 8 • 4 • З = 96м²;Sдверей= 2 • 2 • 2,5 = 10м².
Таким образом,
покрываемая площадь равна 656м² - 96м² - 10м² = 550м².
Стоимость покрытия, нанесённого на стены,
равна 550 • 200 = 110000 руб.
Стоимость работ составляет 70% от стоимости нанесённого покрытия, то она равна 0,7 • 110000 = 77000руб.
Приобрести покрытие нужно с запасом 10%,
общая стоимость материалов (с учётом запаса)
1,1 • 110000 =121ОООруб,
затраты составляют 77000+121000=198000 рублей.
Ответ нужно записать в тысячах рублей, т. е. 198 тысяч рублей.
Ответ: 198

Задача 2
Зал с бассейном имеет форму прямоугольного параллелепипеда с основанием 30 на 50 метров и высотой 10 метров. В зале имеются 6 окон размером 8 м х 5 м каждое и четыре двери размерами 3 м х 2,5 м каждая. Требуется нанести специальное покрытие на стены зала. Найдите стоимость этих работ в тысячах рублей, если квадратный метр покрытия стоит 100 рублей, приобрести покрытие надо с запасом 5%, а
стоимость работ по нанесению покрытия составляет 80% от нанесённого покрытия. Ответ округлите до целого числа тысяч рублей, отбросив дробную часть.

Задача 3
Для оклейки стен комнаты требуется приобрести обои ширина комнаты составляет 4м, длина - 5 м, высота - Зм. В комнате есть окно размером 3 м х 2 м и дверь размером 1,05 м х 2 м. Длина рулона обоев равна 10,5 м, ширина - 0,6 м. До 15% купленных обоев идет в отходы из-за состыковки рисунка и не использованных узких полос. Найдите минимальное число рулонов обоев, которые необходимо приобрести для оклейки комнаты.

Задача 4
Холодильник имеет форму правильной четырехугольной призмы, высота которой в 2 раза больше стороны основания. В холодильник вложили коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами 20см х 20см х 50см, и еще две коробки в форме куба со стороной 20 см. В результате этого оказалось занято 1,8 % объема холодильника. Найдите высоту холодильника (в см).

Решение задачи

Так как холодильник имеет форму правильной четырехугольной призмы, высота которой в 2 раза больше стороны основания, то основанием холодильника является квадрат со стороной х см, высотой 2х см.
Vхол. =a ∙ b ∙ c = x ∙x ∙2x = 2x³ см³ .
V1 коробки = 20 ∙ 20 ∙ 50 =20000 см³ ,
V2 коробки = 20 ∙ 20 ∙ 20 =8000 см ³ ,
Объём коробок в холодильнике равен
V = 20000+ 8000 ∙ 2= 36000 см³ , что составляет 1,8 % объёма холодильника. Следовательно
2х³= 2000000; х³= 1000000; х =100.
Ответ: 200

Задача 5
Танцевальный зал имеет форму прямоугольного параллелепипеда с основанием 8 м х 12 м и высотой 5 метров. В зале имеются две колонны от пола до потолка, сечением которых является квадрат со стороной 0,8 метра Требуется нанести плиточное покрытие на пол и колонны. Найдите минимальное количество квадратных метров плитки, которое необходимо для этого приобрести, если 10% приобретенной плитки уйдет в отходы.

Задача 6
Зал для приемов имеет форму прямоугольного параллелепипеда с основанием 20 м х 30 м и высотой 10 метров. В зале имеются 4 колонны от пола до потолка, сечением которых является квадрат со стороной 2 метра. Требуется нанести плиточное покрытие на пол и колонны. Определите, сколько квадратных метров плитки необходимо приобрести, если требуется, чтобы запас плитки составлял 15% от минимально необходимого количества. Ответ округлите до ближайшего целого числа.

Задача 7
На рисунке изображён эскиз пьедестала почёта, все длины указаны в см, ширина каждой из трех ступенек (для «золотого», «серебряного» и «бронзового» призёров) одинакова. Требуется обшить этот пьедестал рейками из красного дерева, длиной 1м и шириной 10см каждая. Найдите число реек, которые необходимо для этого приобрести, если требуется, чтобы запас реек составлял не менее 10% от минимально необходимого количества.

Решение задачи
Для нахождения необходимого количества реек нужно площадь полной поверхности пьедестала разделить на площадь одной рейки и прибавить 10% полученного числа.
S рейки=100∙10=1000 см²
S верхней пов. =60 ∙(20 ∙ 2+50 ∙ 3+30 ∙ 2)=15000см²
Sбоковой пов.=(50 ∙ 20+50 ∙ 50+30 ∙ 50) ∙2=10000см²
S полной пов.=15000+10000=25000 см²
n=25000/1000=25; 10% от 25составляет 2,5,т.е. 3 рейки
Ответ:28

Задача 8
На рисунке изображён эскиз компьютерного столика (все длины указаны в см). Все элементы конструкции столика имеют одну и ту же толщину, равную 1см, и изготовлены из одного и того же материала, плотность которого составляет 2000 кг/м³. Вычислите массу этого столика (в кг), пренебрегая влиянием толщины стенок на указанные на эскизе размеры.

Решение задачи
Чтобы вычислить массу компьютерного столика нужно площадь всех элементов конструкции столика умножить на 0,01 м и умножить на 2000 кг/м³.
Sбоковых ст. =1,2 ∙ 1 ∙ 3=3,6м²
Sзадн.стенки =1,5 ∙ 1=1,5м²
Sполка клав. =1,1 ∙ 0,5=0,55м²
Sполка для сист.блока =0,4 ∙ 1=0,4м²
Sверхн.стол. =1,5 ∙ 1= 1,5м²
S общ. =3,6+1,5+0,55+0,4+1,5=7,55 м²
m=7,55∙0,01 ∙2000 = 151 кг
Ответ:151

Задача 9
Согласно проекту дом должен иметь форму прямоугольника размером 12 м х 8 м, высоту стен Зм, шесть окон размером 2 м х 1,5 м и дверь размером 1,2 м х 2,5 м. Для возведения внешних стен планируется использовать кирпич размером 5 см х 20см х 10 см. Стены дома должны иметь толщину, равную 20 см. Найдите количество тысяч кирпича, которое нужно закупить для возведения стен дома, если требуется, чтобы кирпич был куплен с запасом не меньше чем 10% от минимально необходимого количества (ответ округлите до целого числа).

Задача 10
Частный дом имеет форму прямоугольника размером 10 м х 8 м. Высота внешних стен дома равна З м, а их толщина - 20см. Вычислите массу внешних стен дома, если известно, что дом имеет шесть окон размером 2 м х 1,5 м и дверь размером 1 м х 2,5 м, а плотность материала стен составляет 4000 кг/м³. Ответ выразите в тоннах.
Ответ:70

Задача 11
На данном ниже рисунке изображён в разрезе фрагмент лестницы (все длины на рис. указаны в см). Ширина лестницы равна 1,2 м, а количество ступенек равно 10. Найдите массу этой лестницы, если плотность материала, из которого изготовлены все её элементы (ступеньки и балка), равна 3000 кг/м3. Ответ выразите в килограммах.

Задача 12
На данном ниже рисунке изображена в разрезе поверхность искусственного водопада (все длины на рис. указаны в см). Высота и угол наклона каждой из «ступенек» одинаковы, длина каждого из горизонтальных участков также одинакова. Ширина водопада равна 5 м. Вычислите объём пространства, находящегося под поверхностью водопада. Ответ выразите в кубических метрах.

Задача 13
Коробка, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 20см х 18см х 15см. Определите, какое максимальное число таких коробок можно разместить внутри ящика в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами 110 см х 40 см х 25 см, если предполагается, что любая стенка каждой из коробок параллельна одной из стенок ящика.
Ответ:14
Задача 14
Коробка, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 1,8 м х 1,5 м х 1,2 м. Определите, какое максимальное число таких коробок можно разместить внутри ангара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с размерами10м х 3,5м х 2,2м, если предполагается, что любая стенка каждой из коробок параллельна одной из стен ангара.
Ответ: 16

Ответы