Основы логики. Алгебра высказываний

Логика
Логика – это наука о формах и способах мышления, позволяющая строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Это учение о способах рассуждений и доказательств.
Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие
Понятие – форма мышления, отражающая наиболее существенные свойства предмета, отличающие его от других предметов.
Содержание составляет совокупность существенных признаков.
Объем определяет совокупность предметов, на которую понятие распределяется и может быть представлено в форме множества объектов.
Наглядное представление – диаграммы Эйлера-Вена.
В
А

Высказывание
Высказывание – форма мышления, выраженная с помощью в форме повествовательного предложения, в котором что-либо утверждается или отрицается и относительно которого можно судить истинно оно или ложно.
Вопросительные, восклицательные, побудительные предложения и предложения, содержащие переменную, высказываниями не являются.
Пример
Истинное высказывание: «Буква «а» – гласная».
Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».

Упражнение
Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
Какой длины эта лента?
Делайте утреннюю зарядку!
4 + 5 = 10.
Назовите устройство ввода информации.
Париж – столица Англии.
Число 11 является простым.
Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
Сложите числа 2 и 5.
Некоторые медведи живут на севере.
Все медведи – бурые.
Чему равно расстояние от Москвы до Смоленска.
5 < 3.

Умозаключение
Умозаключение – форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам логического вывода получается новое знание о предметах реального мира (вывод).
Пример
Посылки
Все металлы электропроводны.
Ртуть является металлом.
Вывод
Ртуть электропроводна.

Алгебра высказываний
Алгебра высказываний – наука об операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над высказываниями.
Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль.
Ее символическое обозначение – латинская буква (например, A, B, P, Q и т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).
На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции
Логические операции – логические действия.
Рассмотрим логические операции – отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.
- не ( ¬, ¯ ) отрицание;
- и (&, ∧) конъюнкция;
- или (∨) дизъюнкция.

Отрицание
Отрицанием высказывания A называется новое сложное высказывание не A (¬A ), которое истинно тогда и только тогда, когда A ложно.
¬A
A

Конъюнкция
Конъюнкцией двух высказываний A, B называется новое сложное высказывание A и B (A&B, A∧B), которое истинно тогда, и только тогда, когда истины оба входящих в него высказывания.
A&B

Дизъюнкция
Дизъюнкцией двух высказываний A, B называется новое сложное высказывание A или B (A∨B), которое истинно тогда, и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний.
A∨B

Логическое выражение
Логическое выражение – формула, содержащая составное высказывание (логическую функцию) и знаки логических операций, значение которой можно вычислить (результат 0 пли 1).
При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:
действия в скобках;
приоритет операций:
отрицание,
конъюнкция,
дизъюнкция.

Упражнение
1. Определите истинность составного высказывания: (¬A&¬B)&(C˅D), состоящего из простых высказываний:
A = «принтер устройство вывода информации»;
B = «процессор – устройство хранения информации»;
C = «монитор – устройство вывода информации»
D = «клавиатура – устройство обработки информации».

Упражнение
2. Для какого символьного выражения верно высказывание:
¬ (Первая буква согласная) ∧ ¬ (Вторая буква гласная)?
1) abcde 2) bcade 3) babas 4) cabab

Упражнение
3. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
(Х > 2) & ((X < 4) ∨ (X > 4))?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

4. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание
(Х < 3) & ¬(X < 2)?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Упражнение

5. Для какого названия животного ложно высказывание:
В слове 4 гласных буквы ∧ ¬ (Пятая буква гласная) ∨
∨ В слове 5 согласных букв?
1) Шиншилла 3) Антилопа
2) Кенгуру 4) Крокодил
Упражнение

6. Для какого из указанных значений числа X ложно выражение
(Х > 2) ИЛИ НЕ(X > 1)?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Упражнение