Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию:
Будем последовательно вычислять суммы двух, трех и т. д. членов прогрессии. Получим:
;
;
;
…
.
Получили последовательность

Если последовательность
сходится к
пределу
, то число
называют
суммой геометрической прогрессии.
! Обратите внимание: называют не суммой членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии.
Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме членов - можно, естественно, и в том случае.

Если знаменатель геометрической прогрессии
удовлетворяет неравенству , то сумма прогрессии вычисляется по формуле
.
Доказательство.
Как известно ,сумма первых членов геометрической прогрессии может быть высчитана по формуле:
.
Как ранее мы установили:
.
А так как
мы назвали суммой геометрической
прогрессии, то формула доказана
.

Пример.
Найти сумму геометрической прогрессии:
27, 9, 3, 1, …
Решение.
Имеем: ;
.
Так как знаменатель прогрессии
, то можно
воспользоваться формулой, доказанной нами только что:
. Значит,