Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами является одним из наиболее сложных и интересных разделов математики, который развивает мыслительную деятельность учащихся, формирует представление о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знания учащихся, полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций, при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом другом материале, повышает логическую культуру и технику исследований.
Позволяет приблизить знания учащихся к требованиям контрольных измерительных материалов части с единого государственного экзамена.

Решение линейных уравнений с параметрами
Формировать умение учащихся видеть в выражении число, обозначенное буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике. В 5 классе при повторении свойств чисел можно рассмотреть примеры.

Примеры:
1) При каком натуральном значении а верно равенство:
а) а + 7 = 7 + 5;
б) 3 ⋅ а = 8 ⋅ 3?
2)При каких натуральных значениях b деление 18 : b выполнено без остатка?
3) При каких натуральных значениях b при делении 16 : b в остатке получится 1?
4)При каких натуральных значениях с верно неравенство
12с < 100?
5) При каких натуральных значениях p верно неравенство
12 < 5р < 50?
Задания, подобные примерам 1, 2, 4 можно предлагать учащимся в устной работе, а примеры 3, 5 для индивидуальной работы на уроке или при составлении контрольной работы в качестве задания развивающего плана.

В теме "Решение уравнений" ребята знакомятся с определением понятия "корень уравнения", вызывает интерес и способствует запоминанию определения корня уравнения следующее задание:
Укажите значение а, при котором число 5 является корнем уравнения ах = 20.
Решение. Если число 5 – корень уравнения ах = 20, то равенство будет верным
а ⋅ 5 = 20
а = 20 : 5
а = 4
Ответ: при а = 4 число 5 – корень уравнения ах = 20.

6 класс
При изучении темы "Обыкновенные дроби" в курсе математики 6 класса в устной и самостоятельной работе можно использовать примеры, способствующие запоминанию понятий "правильная" и "неправильная" дроби, умению сокращать дроби.
1) При каких натуральных значениях b дробь является правильной?
2) При каких натуральных значениях m дробь является неправильной?
3) При каких натуральных значениях а правильная дробь сократима?
4) При каких натуральных значениях с неправильная дробь сократима?

В заключении изучения темы "Действия с рациональными числами" на уроках математики в 6 классе можно рассматривать примеры решения уравнений вида
0х = 5; 0х = 0, предлагать задания развивающего характера в устной работе, а затем и в индивидуальной дифференцированной работе уравнения:
1) 0х = а; 2) bх = 0.
1) При каких значениях а уравнение 0х = а не имеет решений? При каких значениях а уравнение имеет бесконечное множество решений?
2) При каких значениях b уравнение bх = 0 имеет бесконечное множество решений?
При каких значениях b уравнение bх = 0 не имеет решений?
На внеклассных занятиях по математике в 6 классе рассматривается решение уравнений с параметрами вида:
1) ах = 6 2) (а – 1)х = 8,3 3) bх = -5

7 класс
Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и приводимых к ним можно в 7 классе при изучении темы: "Решение линейных уравнений". В устной работе повторяется решение уравнений вида: 0х = 5; 6х = 0; 0х = 0; ах = 0; 0х = b; сх = 7.
Затем в ходе урока можно рассмотреть уравнения, развивающие представление учащихся о решении уравнений с параметрами.
Пример. При каком значении а число 4 является корнем уравнения
(а – 5) ⋅ 4 – 2а = 3х – 1?
Решение:
Если 4 – корень уравнения, то при х = 4 получим верное равенство
(а – 5) ⋅ 4 – 2а = 3 ⋅ 4 – 1,
4а – 20 – 2а = 12 – 1,
2а = 20 + 11,
2а = 31,
а = 15,5
Ответ: при а = 15,5 число 4 – корень уравнения.

Изучив тему седьмого класса "Разложение многочленов на множители" и в ходе изучения этой темы на факультативе, ребята с интересом решают уравнения вида:
При каких значениях а уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 имеет бесконечное множество решений?
Решение:
6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7
6ах + 6 + а = 3а – 3х + 7
(6а + 3)х = 2а + 1
Найдем контрольное значение а.
6а + 3 = 0
а = -1/2.
При а = -1/2 получим уравнение 0х = 0. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
При а ≠ -1/2 х = , х = , х = 1/3 – уравнение имеет одно решение.
Ответ: при а = уравнение имеет бесконечное множество решений.

8 класс
Изучение темы "Действия с алгебраическими дробями" позволяет углубить работу с учащимися по выработке их умений проводить анализ решения более сложных линейных уравнений с параметрами на факультативных занятиях.
Пример. Решите уравнение:
2х – 3(а – х) = ах – 15
Решение:
2х – 3(а – х) = ах – 15
2х – 3а + 3х = ах – 15
5х – ах = 3а – 15
(5 – а)х = 3(а – 5)
Найдем контрольное значение а:
5 – а = 0
а = 5
При а = 5 получим уравнение 0х = 0, которое имеет бесконечное множество решений.
При а ≠ 5 х = (делим на число 5 – а ≠ 0)
х =
х = -3 – уравнение имеет одно решение.
Ответ: при а = 5 – бесконечное множество решений, при а ≠ 5 – одно решение
х = -3.

Решение квадратных уравнений
с параметрами в курсе математики основной школы
Обучение решению квадратных уравнений с параметрами можно начинать в 8 классе с устного счета, применяя знания учащихся, полученные при изучении темы "Решение квадратных уравнений".
Учащиеся знакомятся с понятием "дискриминант", учатся находить количество корней квадратного
уравнения в зависимости от его значения.

Примеры:
1) При каких значениях m уравнение х2 – 3х – 2m = 0 не имеет действительных корней?
Решение: х2 – 3х – 2m = 0. Так как квадратное уравнение не имеет действительных корней, то его дискриминант принимает отрицательные значения:
D = 9 + 8m
9 + 8m < 0
m <
Ответ: при m < уравнение не имеет действительных корней
2) При каких значениях а уравнение х2 + 5х + 10а = 0 имеет два действительных корня?
3) При каких значениях b уравнение x2 + bx + 4 = 0 имеет один действительный корень?

Для индивидуальной работы на уроке можно предложить задания развивающего характера.
Пример. При каких значениях m квадратное уравнение mx2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня?
Решение: mx2 + 6x - 3 = 0.
Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m ≠ 0.
Так как квадратное уравнение имеет два действительных корня, то его дискриминант принимает положительные значения.
D = 36 + 12m
36 + 12m > 0
12m > -36
m > -3
Ответ: при m > -3, m ≠ 0 квадратное уравнение mx2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня.
При решении этих примеров отрабатывается не только понятие "дискриминант", но и определение квадратного уравнения.

9 класс
После изучения темы "Решение неравенств второй степени с одной переменной" рассматривается решение более сложных примеров.

Пример. При каких значениях параметра m уравнение mx2 – 4x + m + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение: mx2 – 4x + m + 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m ≠ 0.
При m ≠ 0 получится квадратное уравнение, которое имеет более одного корня, если его дискриминант имеет положительное значение.
D=16-4m2-12m.
Решим неравенство m2 + 3m – 4 < 0 методом интервалов.
Найдем корни многочлена m2 + 3m – 4.
m2 + 3m – 4 = 0
m1 = -4; m2 = 1
Разложим многочлен m2 + 3m – 4 на множители: (m + 4)(m – 1) < 0.
Найдем знаки многочлена (m + 4)(m – 1) на интервалах:
Ответ: уравнение имеет более одного корня при –4 < m < 1, m ≠ 0.

На факультативе в 9 классе можно рассмотреть решение примеров:
1) При каких значениях k корни уравнения х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0 равны по модулю?
Решение: х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0. Воспользуемся условием равенства корней квадратного уравнения по модулю
k2 – 4k – 5 = 0
k1= -1; k2 = 5 -1 < 0; 5 > 0 ⇒ k = 5 – посторонний корень.
При k = -1 получим уравнение
х2 – 1 = 0
х2 = 1
Х1, 2 = ±1
⎜-1⎜ = ⎜1⎜
Ответ: при k = -1 корни уравнения равны по модулю.

2) Найти значение р квадратного уравнения
х2 + рх + 24 = 0, если известно, что его корни положительны, и их разность равна 2.
3) При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 отрицательны?
4) При каких значениях параметра а корни уравнения х2 + ах + 2а = 0 действительны и оба больше (-1).
5) При каких значениях параметра а сумма корней уравнения 4х2– 4(а – 1)х + 1 = 0 отрицательна?
При решении этих примеров используются необходимое и достаточное условие существования двух различных корней, больших данного числа, и теорема Виета.