Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы

Содержание

Слайд 2

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. Это связано

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. Это связано
с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Слайд 3

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами является одним из наиболее сложных

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами является одним из наиболее сложных
и интересных разделов математики, который развивает мыслительную деятельность учащихся, формирует представление о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знания учащихся, полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций, при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом другом материале, повышает логическую культуру и технику исследований.
Позволяет приблизить знания учащихся к требованиям контрольных измерительных материалов части с единого государственного экзамена.

Слайд 4

Решение линейных уравнений с параметрами

Формировать умение учащихся видеть в выражении число, обозначенное

Решение линейных уравнений с параметрами Формировать умение учащихся видеть в выражении число,
буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике. В 5 классе при повторении свойств чисел можно рассмотреть примеры.

Слайд 5

Примеры:

1) При каком натуральном значении а верно равенство:
а) а + 7 =

Примеры: 1) При каком натуральном значении а верно равенство: а) а +
7 + 5;
б) 3 ⋅ а = 8 ⋅ 3?
2)При каких натуральных значениях b деление 18 : b выполнено без остатка?
3) При каких натуральных значениях b при делении 16 : b в остатке получится 1?
4)При каких натуральных значениях с верно неравенство
12с < 100?
5) При каких натуральных значениях p верно неравенство
12 < 5р < 50?
Задания, подобные примерам 1, 2, 4 можно предлагать учащимся в устной работе, а примеры 3, 5 для индивидуальной работы на уроке или при составлении контрольной работы в качестве задания развивающего плана.

Слайд 6

В теме "Решение уравнений" ребята знакомятся с определением понятия "корень уравнения", вызывает

В теме "Решение уравнений" ребята знакомятся с определением понятия "корень уравнения", вызывает
интерес и способствует запоминанию определения корня уравнения следующее задание: Укажите значение а, при котором число 5 является корнем уравнения ах = 20. Решение. Если число 5 – корень уравнения ах = 20, то равенство будет верным а ⋅ 5 = 20 а = 20 : 5 а = 4 Ответ: при а = 4 число 5 – корень уравнения ах = 20.

Слайд 7

6 класс

При изучении темы "Обыкновенные дроби" в курсе математики 6 класса в

6 класс При изучении темы "Обыкновенные дроби" в курсе математики 6 класса
устной и самостоятельной работе можно использовать примеры, способствующие запоминанию понятий "правильная" и "неправильная" дроби, умению сокращать дроби.
1) При каких натуральных значениях b дробь является правильной?
2) При каких натуральных значениях m дробь является неправильной?
3) При каких натуральных значениях а правильная дробь сократима?
4) При каких натуральных значениях с неправильная дробь сократима?

Слайд 8

В заключении изучения темы "Действия с рациональными числами" на уроках математики в

В заключении изучения темы "Действия с рациональными числами" на уроках математики в
6 классе можно рассматривать примеры решения уравнений вида 0х = 5; 0х = 0, предлагать задания развивающего характера в устной работе, а затем и в индивидуальной дифференцированной работе уравнения: 1) 0х = а; 2) bх = 0. 1) При каких значениях а уравнение 0х = а не имеет решений? При каких значениях а уравнение имеет бесконечное множество решений? 2) При каких значениях b уравнение bх = 0 имеет бесконечное множество решений? При каких значениях b уравнение bх = 0 не имеет решений? На внеклассных занятиях по математике в 6 классе рассматривается решение уравнений с параметрами вида: 1) ах = 6 2) (а – 1)х = 8,3 3) bх = -5

Слайд 9

7 класс

Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и приводимых

7 класс Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и
к ним можно в 7 классе при изучении темы: "Решение линейных уравнений". В устной работе повторяется решение уравнений вида: 0х = 5; 6х = 0; 0х = 0; ах = 0; 0х = b; сх = 7.
Затем в ходе урока можно рассмотреть уравнения, развивающие представление учащихся о решении уравнений с параметрами.
Пример. При каком значении а число 4 является корнем уравнения (а – 5) ⋅ 4 – 2а = 3х – 1?
Решение:
Если 4 – корень уравнения, то при х = 4 получим верное равенство
(а – 5) ⋅ 4 – 2а = 3 ⋅ 4 – 1,
4а – 20 – 2а = 12 – 1,
2а = 20 + 11,
2а = 31,
а = 15,5
Ответ: при а = 15,5 число 4 – корень уравнения.

Слайд 10

Изучив тему седьмого класса "Разложение многочленов на множители" и в ходе изучения

Изучив тему седьмого класса "Разложение многочленов на множители" и в ходе изучения
этой темы на факультативе, ребята с интересом решают уравнения вида: При каких значениях а уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 имеет бесконечное множество решений? Решение: 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 6ах + 6 + а = 3а – 3х + 7 (6а + 3)х = 2а + 1 Найдем контрольное значение а. 6а + 3 = 0 а = -1/2. При а = -1/2 получим уравнение 0х = 0. Уравнение имеет бесконечное множество решений. При а ≠ -1/2 х = , х = , х = 1/3 – уравнение имеет одно решение. Ответ: при а = уравнение имеет бесконечное множество решений.

Слайд 11

8 класс

Изучение темы "Действия с алгебраическими дробями" позволяет углубить работу с учащимися

8 класс Изучение темы "Действия с алгебраическими дробями" позволяет углубить работу с
по выработке их умений проводить анализ решения более сложных линейных уравнений с параметрами на факультативных занятиях.
Пример. Решите уравнение:
2х – 3(а – х) = ах – 15
Решение:
2х – 3(а – х) = ах – 15
2х – 3а + 3х = ах – 15
5х – ах = 3а – 15
(5 – а)х = 3(а – 5)
Найдем контрольное значение а:
5 – а = 0
а = 5
При а = 5 получим уравнение 0х = 0, которое имеет бесконечное множество решений.
При а ≠ 5 х = (делим на число 5 – а ≠ 0)
х =
х = -3 – уравнение имеет одно решение.
Ответ: при а = 5 – бесконечное множество решений, при а ≠ 5 – одно решение х = -3.

Слайд 12

Решение квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы

Обучение решению квадратных

Решение квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы Обучение решению
уравнений с параметрами можно начинать в 8 классе с устного счета, применяя знания учащихся, полученные при изучении темы "Решение квадратных уравнений".
Учащиеся знакомятся с понятием "дискриминант", учатся находить количество корней квадратного
уравнения в зависимости от его значения.

Слайд 13

Примеры:

1) При каких значениях m уравнение х2 – 3х – 2m =

Примеры: 1) При каких значениях m уравнение х2 – 3х – 2m
0 не имеет действительных корней?
Решение: х2 – 3х – 2m = 0. Так как квадратное уравнение не имеет действительных корней, то его дискриминант принимает отрицательные значения:
D = 9 + 8m
9 + 8m < 0
m <
Ответ: при m < уравнение не имеет действительных корней
2) При каких значениях а уравнение х2 + 5х + 10а = 0 имеет два действительных корня?
3) При каких значениях b уравнение x2 + bx + 4 = 0 имеет один действительный корень?

Слайд 14

Для индивидуальной работы на уроке можно предложить задания развивающего характера. Пример. При каких

Для индивидуальной работы на уроке можно предложить задания развивающего характера. Пример. При
значениях m квадратное уравнение mx2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня? Решение: mx2 + 6x - 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m ≠ 0. Так как квадратное уравнение имеет два действительных корня, то его дискриминант принимает положительные значения. D = 36 + 12m 36 + 12m > 0 12m > -36 m > -3 Ответ: при m > -3, m ≠ 0 квадратное уравнение mx2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня. При решении этих примеров отрабатывается не только понятие "дискриминант", но и определение квадратного уравнения.

Слайд 15

9 класс

После изучения темы "Решение неравенств второй степени с одной переменной" рассматривается

9 класс После изучения темы "Решение неравенств второй степени с одной переменной"
решение более сложных примеров.

Слайд 16

Пример. При каких значениях параметра m уравнение mx2 – 4x + m

Пример. При каких значениях параметра m уравнение mx2 – 4x + m
+ 3 = 0 имеет более одного корня? Решение: mx2 – 4x + m + 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m ≠ 0. При m ≠ 0 получится квадратное уравнение, которое имеет более одного корня, если его дискриминант имеет положительное значение. D=16-4m2-12m. Решим неравенство m2 + 3m – 4 < 0 методом интервалов. Найдем корни многочлена m2 + 3m – 4. m2 + 3m – 4 = 0 m1 = -4; m2 = 1 Разложим многочлен m2 + 3m – 4 на множители: (m + 4)(m – 1) < 0. Найдем знаки многочлена (m + 4)(m – 1) на интервалах: Ответ: уравнение имеет более одного корня при –4 < m < 1, m ≠ 0.

Слайд 17

На факультативе в 9 классе можно рассмотреть решение примеров:

1) При каких

На факультативе в 9 классе можно рассмотреть решение примеров: 1) При каких
значениях k корни уравнения х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0 равны по модулю?
Решение: х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0. Воспользуемся условием равенства корней квадратного уравнения по модулю
k2 – 4k – 5 = 0
k1= -1; k2 = 5 -1 < 0; 5 > 0 ⇒ k = 5 – посторонний корень.
При k = -1 получим уравнение
х2 – 1 = 0
х2 = 1
Х1, 2 = ±1
⎜-1⎜ = ⎜1⎜
Ответ: при k = -1 корни уравнения равны по модулю.

Слайд 18

2) Найти значение р квадратного уравнения х2 + рх + 24 =

2) Найти значение р квадратного уравнения х2 + рх + 24 =
0, если известно, что его корни положительны, и их разность равна 2. 3) При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 отрицательны? 4) При каких значениях параметра а корни уравнения х2 + ах + 2а = 0 действительны и оба больше (-1). 5) При каких значениях параметра а сумма корней уравнения 4х2– 4(а – 1)х + 1 = 0 отрицательна? При решении этих примеров используются необходимое и достаточное условие существования двух различных корней, больших данного числа, и теорема Виета.
Имя файла: Решение-линейных-и-квадратных-уравнений-с-параметрами-в-курсе-математики-основной-школы.pptx
Количество просмотров: 882
Количество скачиваний: 3