Lektsia_4_Tochechnye_gruppy_simmetrii_Simvoly_Shenflisa

М. Эшер. Три мира

Как описать структуру кристалла?
0
10
а
а,b - трансляции
b
Кристаллическая решетка – это способ описания состояние вещества с бесконечной трехмерной периодической структурой, позволяющий по средствам геометрических построений анализировать всю совокупность элементов этой структуры.

Симметрия
- свойство геометрической фигуры при определенном преобразовании пространства приобретать новое положение неотличимое от исходного (самосовмещаться)
Операция симметрии – отражение геометрической фигуры самой в себя при некотором изометрическом преобразовании пространства.
Элемент симметрии – геометрическое место точек, переходящее в себя при симметрическом преобразовании пространства
С – центр симметрии
m – плоскость симметрии
L – ось симметрии

Примеры действия элементов симметрии

σ – плоскость отражения
Плоскости отражения

Центр инверсии
2 порядок

Инверсионные оси,
зеркально-поворотные оси

Квазикристаллы, есть порядок, но нет повторений…

Симметрия куба

Операции симметрии
Элементы симметрии
Куб
+Е

Сn
n = количество углов в основании
Поворотные оси

Группы Dnh
Оси отражения

Символы Шенфлиса
Сnk
- Поворот на 360/порядок оси
Snk
- Поворот на 360/порядок оси + перпендикулярная плоскость отражения
σ
(центр инверсии -?)
σ – горизонтальная (h), вертикальная (v) или диагональная по отношению к оси наибольшего порядка
Семейство Сn
Семейство Sn
n - четное
Сnh
+горизонтальная плоскость
Сn
Сnv (пирамида)
+вертикальная плоскость
+перпендикулярные оси Dn (бипирамида)
+горизонтальная плоскость и перпендикулярная ось Dnh (призма)
+перпендикулярная ось и горизонтальные оси Dnd (антипризма)

Cnv

Dn

Dn

Dnd

1. Низшая категория (Порядок оси не выше 2)
Семь групп: C1, C2, S2, C2h, C2v, D2, D2h
2. Средняя категория (Одна ось порядка выше 2)
Семь семейств: Сn, Sn, Cnh, Cnv, Dn, Dnh, Dnd
3. Высшая категория (Больше 1 оси более высокого порядка, чем 2)
Семь групп: T, Th, Td, O, Oh, I, Ih
Категории полиэдров

Платоновы тела
Тетраэдер
Куб-октаэдер
Икосаэдер – пентагон-додекаэдер
Td
Oh
Ih
Дуализм полиэдров

Группы Td
σ
S4
С3
+ центр инверсии - Тh

Oh
Ih
Центр симметрии
9 осей
9 плоскостей
Центр симметрии
15 осей
15 плоскостей

Предельные группы
С∞V
D∞h
Kh
7 предельных групп
+ производные от неё
+ производные от неё