3.2 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Цель лекции: рассмотреть основные понятия систем линейных алгебраических уравнений, изучить матричный метод, метод Крамера и метод Гаусса решения таких систем, рассмотреть применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы, ознакомиться с понятиями и методами решения однородных систем алгебраических уравнений, фундаментальной системой решений.
Материально-техническое обеспечение: компьютер, видеопроектор, экран.
Учебно-методическое обеспечение: учебно-методический материал в электронном виде, программный комплекс «Системы линейных уравнений».

Основные вопросы
1. Метод итераций
2. Метод Зейделя

1. Метод итераций
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.
Простейшим итерационным методом решения СЛАУ является метод простой итерации.
Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо
систему уравнений привести к виду: х=Вх+с.
:
:
(2)

Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений,
причем приближение строится следующим образом:
Последняя система (3) представляет собой расчетные формулы метода простой итерации.
(3)

Полученную систему (3) можно использовать, как итерационные формулы, учитывая, что справа в равенствах стоят значения переменных xi, полученные на предыдущем n-1 шаге вычислений, а слева - новые значения на n щаге.
На практике для обеспечения сходимости итерационных методов необходимо, чтобы значения диагональных элементов матрицы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами.
Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации. Если элементы матрицы удовлетворяют условию:
то итерационная последовательность сходится к точному решению.

Зададим начальные приближения
и вычислим правую часть каждого уравнения системы (3), получим новые приближения
Таким образом организуется итерационный процесс, который заканчивается по условию: вычисления ведутся до тех пор, пока все величины
Критерий окончания.
Если требуется найти решение с точностью ε.

Пример 1.
Решить систему уравнений методом простой итерации с точностью ε=0,001
Заметим, что метод простой итерации сходится, так как выполняется условие преобладания диагональных элементов:
Приведем систему к виду:

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов:
Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины не станут меньше
Последовательно вычисляем при k=1:
При k=2:

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.
2. Метод Зейделя
Разделим обе части каждого уравнения на диагональные элементы

Выразим из этой системы в каждом уравнении по одной неизвестной
Таким образом, систему уравнений можно записать в матричном виде
(3) , где

Используя соответствующую полученной системе рекуррентную формулу
на каждом k-том шаге получим новое значение i-той переменной.
Основная идея метода Зейделя состоит в том, что новые полученные значения xi используются сразу же по мере получения для расчета следующих переменных xi+1, xi+2, ..., xi+k.
Последовательно выполняя вычисления по строкам, получим:

Задания для самоподготовки