Аксиома параллельных прямых

Закончи предложение.
1. Прямая х называется секущей по отношению к прямым а и b, если…
2. При пересечении двух прямых секущей образуется … неразвёрнутых углов.
3. Если прямые АВ и СD пересечены прямой ВD, то прямая ВD называется…
4. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно секущей АС,
то углы ВАС и DCA называются…
5. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно секущей АС, то
углы ВАС и DCA называются…
6. Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние
накрест лежащие углы другой пары…
А
В
С
D
А
B
C
D

Проверка
1)…если она пересекает их в двух точках
2)…8
3)…секущей
4)…накрест лежащими
5)…односторонними
6)…равны

Найдите соответствие
1) a | | b, так как внутренние накрест лежащие углы равны
2) a | | b, так как
соответственные
углы равны
3) a | | b, так как
сумма внутренних
односторонних
углов равна 180°
m
a
b
1500
300
a)
a
b
m
450
450
b)
a
b
m
1500
1500
c)

Теорема
Теорема Теорема Теорема
А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии?
На аксиомах
Утверждениях о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений ( без доказательства)
?
Об аксиомах геометрии
Строится вся геометрия
Через любые две точки
проходит прямая, и притом
только одна

Мы использовали и другие аксиомы , хотя особо не выделяли их.
Так, сравнение 2-ух отрезков мы проводили с помощью наложения. Возможность такого наложения вытекает из аксиомы «На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один»

Сравнение 2-х углов основано на аналогичной аксиоме:
От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу , и притом только один
Эти аксиомы не вызывают сомнений и с помощью них доказываются другие утверждения.

Сначала формулируются исходные положения - аксиомы
На их основе, путём логических рассуждений доказываются другие утверждения
Такой подход к построению геометрии зародился в глубокой древности и был изложен в сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида
365 – 300 гг. до н.э.
Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией
Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас используются в геометрии
Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».

М
а
в
с
Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а.
Доказательство: а ┴ с =>а в
в ┴ с
Можно ли через т.М провести еще одну прямую , параллельную прямой а ?
в1
Через т.М нельзя провести прямую (отличную от прямой в), параллельную прямой а.
Можно ли это утверждение доказать?
Ответ на этот непростой вопрос дал великий русский математик
Аксиома параллельных прямых
Николай Иванович Лобачевский
1792-1856

Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной
Аксио́ма – исходное утверждение, принимаемое истинным без доказательств, и которое в последующем служит «фундаментом» для построения какой-либо теории, дисциплины.
Теоре́ма – утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство.
Следствие – утверждение, которое выводится из теорем и аксиом.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2.Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
а
в
М
с
Доказательство:
Предположим, что прямая с не пересекает прямую в, значит, с в.
Тогда через т.М проходят две прямые а и с параллельные прямой в.
3. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая с пересекает прямую в.
а
в
с
Доказательство:
Предположим, что прямая а и прямая в пересекаются.
2. Тогда через т.М проходят две прямые а и в параллельные прямой с
3 . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит прямые а и в параллельны.
Способ рассуждения, который использован, называется методом доказательства от противного
Следствия из аксиомы параллельных прямых

Решение задач
№196
№197
№198

Решение задач
Задача №197
Через точку, не лежащую на данной прямой p , проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую p ? Рассмотрите все возможные случаи.
А
р
Ответ: три или четыре

Решение задач
Задача №197
Через точку, не лежащую на данной прямой p , проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую p ? Рассмотрите все возможные случаи.
А
р
Задача № 199
Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые АВ и ВС пересекают прямую р.
А
В
С
р
Ответ: три или четыре

Отметить знаком «+» правильные утверждения и знаком «-» - ошибочные.
Вариант 1
1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, требующее доказательства.
2. Через любые две точки проходит прямая.
3. На любом луче от начала можно отложить отрезки, равные данному, причем сколько угодно много.
4.Через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Вариант 2
1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, принимаемое без доказательства.
2. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят только две прямые, параллельные данной.
4. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой прямой.
5. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Вариант 1
1. «-»
2. «-»
3. «-»
4. «+»
5. «+»
Вариант 2
1. «+»
2. «+»
3. «-»
4. «-»
5. «+»