Арифметическая прогрессия. 9 класс

№1
Последовательность (хn) задана формулой: хn =n2.
Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100?
Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?
144=122=х12
225=х15, 100=х10
48 и 168 не являются членами последовательности,
49 – является.

№2
О последовательности (un) известно, что u1=2, un+1=3un+1 .
Как называется такой способ задания последовательности?
Найдите первые четыре члена этой последовательности.
Рекуррентный способ.
u1=2
u2=3u1+1=7
u3=3u2+1=22
u4=3u3+1 =67

№3
О последовательности (an) известно, что an=(n-1)(n+4)
Как называется такой способ задания последовательности?
Найдите n, если an=150 ?
Формулой n-ого члена.
n=11

Что такое ПРОГРЕССИЯ?
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).
Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.
Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

БОЭЦИЙ
Ани́ций Ма́нлий Торква́т Севери́н Боэ́ций, в исторических документах Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 (526)), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог.
Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук.
Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»

Что общего в последовательностях?
2, 6, 10, 14, 18, ….
11, 8, 5, 2, -1, ….
5, 5, 5, 5, 5, ….
Найдите для каждой последовательности следующие два члена.
22, 26
-4, -7
5, 5

Арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
(an) - арифметическая прогрессия,
если an+1 = an+d ,
где d-некоторое число.

Разность арифметической прогрессии
Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.
d=an+1-an

Свойства прогрессии
2, 6, 10, 14, 18, ….
11, 8, 5, 2, -1, ….
5, 5, 5, 5, 5, ….
Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.
В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.
d=4, an+1>an
d=-3, an+1
d=0, an+1=an

Задача
На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.
a1=50, d=3
1 числа: 50 т
2 числа: +1 машина (+3 т)
3 числа: +2 машины(+3·2 т)
………………………………………
30 числа:+29 машин(+3·29 т)
a30=a1+29d
a30=137

Формула n-ого члена
a1
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……………………..
an=an-1+d=a1+(n-1)d
an=a1+d (n-1)

Пример 1.
Последовательность (cn)-арифметическая прогрессия. Найдите c81, если c1=20 и d=3.
Решение:
Воспользуемся формулой n-ого члена
с81=с1+d(81-1),
c81=20+3·80,
c81=260.
Ответ: 260.

Задача.
В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 11…
Можно ли восстановить утраченные числа?
Заметим, что a3=a1+2d, a5=a3+2d, a7=a5+2d и т.д.
Тогда d=(an+2-an):2, то есть d=2.
Искомая последовательность
3, 5, 7, 9, 11, 13, …

Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Пусть an – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:
an-an-1=an+1-an,
2an=an-1+an+1,
an=(an-1+an+1):2
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.

Основные формулы:
Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии an+1=an+d
Разность прогрессии d=an+1-an
Формула n-ого члена an=a1+d(n-1)
Характеристическое свойство

№575(а);