Диагностика и развитие мышления школьников на уроках математики

Учить надобно
не мыслям,
а мыслить…
И. Кант

Мышление
Творческий, познавательный процесс, обобщенно и опосредованно отражающий отношения предметов и явлений, законы объективного мира

Мыслительные операции
Анализ
Синтез
Сравнение
Абстрагирование
Обобщение

Виды мышление, выделенные по различным основаниям
По форме
Наглядно-действенное
Наглядно-образное
абстрактно-логическое
По характеру решаемых задач
Теоретическое
Практическое
По степени развернутости
Дискурсивное
Интуитивное
По степени новизны и оригинальности
Репродуктивное
Продуктивное

Важнейшие характеристики ума
Самостоятельность мышления
Критичность мышления
Глубина мысли
Гибкость мысли
Пытливость ума

Схема формирования типов мышления в зависимости от характера обучения

5. Топологи
1. Порядковисты
4. Метристы
3. Проективисты
2. Алгебраисты

Как усваивается школьниками в зависимости от доминантного кластера понятие «алгебраическое выражение»
«Тополог» « Алгебраическим называется выражение, включающее в себя числа и буквы, связанные знаками действий»
«Проективист» «Алгебраическим называется выражение подобное, например, предложению в русском языке: как в языке задаются соответствующие слова, знаки препинания, так и в алгебраическом выражении заданы числа, буквы и знаки действий между ними»
«Порядковец» «Алгебраическим можно назвать выражение , в котором числа и буквы взаимодействуют друг с другом по конкретным правилам, строго определяемым законами, зафиксированными знаками математических действий»
«Метрист» «Алгебраическое выражение представляет собою определенное количество букв, чисел и знаков действий (то, что можно записать с помощью одной или нескольких букв, чисел и знаков действий). При этом заменяя буквы числами, всегда можно найти его конкретное числовое значение»
«Алгебраист» «Алгебраическое выражение состоит из чисел, букв и знаков действий»

Пример: Сравнить обыкновенные дроби
2/3 и 3/4.
1. Порядковисты
2. Алгебраисты
Уравнивают знаменатели и сравнивают числители:
Дополняют каждую дробь до целого(до 1):

4. Метристы
5. Топологи
Строят единичный отрезок, делят его на 3 и 4 части и сравнивают отрезки длиной 2/3 и 3/4.
Работают с числами, составляют пропорции:
3. Проективисты
Располагают друг под другом два параллельных отрезка, проецируют один на другой и сравнивают по длине:

Доказать, что площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равновелики.

Топологическая подструктура
Акцент на использовании принадлежности одних треугольников другим, а именно: «Не видите ли вы треугольник, в который включается ΔАВО и ΔДСО?»
Если первая подсказка не помогла, можно предложить другие: «Площади каких фигур включают в себя площади ΔАВД и ΔАСД?» И т.п.
Выстраивают доказательство, опираясь на принадлежность одних треугольников другим: Рассмотрим ΔАВД и ΔАСД. У них общее основание АД и равные высоты, проведенные к этим основаниям. Отсюда SАВД = SАСД SАВО = SАВД – SАОД = SАСД – SАОД = SСОД

Порядковая подструктура
Ориентируются на такие отношения как «больше – меньше», «равно», любят действовать последовательно. П
Подсказки:«Диагонали разбили трапецию на несколько треугольников. Установите последовательность величин площадей от большего к меньшему. Есть ли среди них треугольники с равными величинами площадей?
Попробуйте последовательно заменять площадь трапеции суммой площадей больших треугольников, их, в свою очередь, суммой площадей маленьких треугольников.»
SАВСД = SАВД + SВСД, но SАСД = SАВД, значит SАВСД = SАСД + SВСД. Далее. Последовательно заменяя площади больших треугольников площадями более маленьких, их составляющих, они получают:
SАВО + SВСО + SСОД + SАОД = (SАОД + SСОД) + (SВОС + SСОД), откуда SАВО = SСОД.

Метрическая подструктура
Акцентируют внимание на количественных преобразованиях, определяют конкретные числовые значения.
Подсказка группе «метристов»: по известной формуле
SΔ= 1/2*a*b*sinα вычислите площади ΔАВО и ΔСОД, используя подобие ΔВОС и ΔАОД.
Решение «метристов»: ΔАОД ~ ΔВОС => ВО/ДО = СО/АО => АО*ВО = СО*ОД => ½*АО*ВО* sinα = ½*СО*ОД* sinα => SАОВ = SСОД.

Проективная подструктура
Позволяет изучать математический объект путем установления соответствия между этим объектом и его различными проекциями. Очевидной и полезной будет подсказка, предлагающая заменить («спроецировать») треугольники на одну из сторон — отрезки диагоналей трапеции. Заменить отношение площадей треугольников с одинаковыми высотами (ΔАВО и ΔВОС, ΔВОС и Δ ОСД) отношением оснований.
Рассмотрим ΔАВО и ΔВОС. Для них можно записать: SАВО = ½*АО*h, SВОС = ½*СО*h, откуда следует, что SАВО/ SВОС = АО/ОС. Аналогично получаем равенство: SСОД/ SВСО = ДО/ОВ, а из подобия ΔВОС и ΔАОД следует, что АО/ОС = ДО/ОВ, значит SАВО/ SВОС = SСОД/ SВСО, откуда SАВО = SСОД.

Алгебраическая подструктура
Позволяет осуществлять не только прямые, но и обратные операции, легко переключаться с прямых действий на противоположные, заменять несколько операций одной, вычленять части и собирать их в единое целое и т. д.
Поэтому эффективной подсказкой учителя будет использовать метод от противного.
Допустим, что SАВО ≠ SСОД, тогда SАВД ≠ SАСД => ВС не параллельно АД, получили противоречие тому, что АВСД трапеция. Значит, допущение неверно и SАВО = SСОД.

Заключительный этап урока
Каждая группа выступает со своим доказательством .
ВАЖНО! Лишь после того, как школьник усвоил решение адекватное своему кластеру, он способен осознанно и неформально овладеть иными способами решения, базирующимися на других подструктурах математического мышления

Методика «Исследование гибкости мышления»
Позволяет определить вариативность подходов, гипотез, исходных данных, точек зрения, операций, вовлекаемых в процесс мыслительной деятельности.
Время выполнения 3 минуты.

Тест Липмана «Логические закономерности»
2, 3, 4, 5, 6, 7
6, 9, 12, 15, 18, 21
1, 2, 4, 8, 16, 32
4, 5, 8, 9, 12, 13
19, 16, 14, 11, 9, 6
29, 28, 26, 23, 19, 14
16; 8; 4; 2; 1; 0,5
1; 4; 9; 16; 25; 36
21; 18; 16; 15; 12; 10
3; 6; 8; 16; 18; 36

8, 9
24, 27
64, 128
16, 17
8, 1
0,25, 0,125
49, 64
9, 6
38, 76

Методика «Закономерности числового ряда»
Методика оценивает логический аспект мышления. Время выполнения 5 минут.
1) 24 21 19 18 15 13 _ _ 7
2) 1 4 9 16 _ _ 49 64 81 100
3) 16 17 15 18 14 19 _ _
4) 1 3 6 8 16 18 _ _ 76 78
5) 7 16 9 5 21 16 9 _ _ 1
6) 2 4 8 10 20 22 _ _ 92 94
7) 24 22 19 15 _ _

Методика «Исключение понятий»
Методика предназначена для исследования способности к классификации и анализу. Задание - найти лишнее слово в каждом ряду. Время выполнения 3 минуты.
Василий, Федор, Семен, Иванов, Петр.
Дряхлый, маленький, старый, изношенный, ветхий
Скоро, быстро, поспешно, постепенно, торопливо
Лист, почва, кора, чешуя, сук
Ненавидеть, презирать, негодовать, возмущаться, понимать
Темный, светлый, голубой, яркий ,тусклый
Гнездо, нора, курятник, сторожка, берлога
Неудача, волнение, поражение, провал, крах
Успех, удача, выигрыш, спокойствие, неудача
Грабеж, кража, землетрясение, поджог, нападение
Молоко, сметана, сыр, сало, простокваша
Глубокий, низкий, светлый, высокий, длинный
Хата, шалаш, дым, хлев, будка
Береза, сосна, дуб, ель, сирень
Секунда, час, год, вечер, неделя
Смелый, храбрый, решительный, злой, отважный
Карандаш, ручка, рейсфедер, фломастер, чернила

Методика «Выделение общих понятий»
Цель - определить умение обобщать, анализировать, классифицировать.
Сад (растения, садовник, собака, забор, земля)
Река (берег, рыба, рыболов, тина, вода)
Город (автомобиль, здание, толпа, улица, велосипед)
Сарай (сеновал, лошадь, крыша, скот , стены)
Куб (углы, чертеж, сторона, камень, дерево)
Деление (класс, делимое, карандаш, делитель, бумага)
Кольцо (диаметр, алмаз, проба, округлость, печать)
Чтение (глава, книга, печать, картина, слово)
Газета (правда, приложение, телеграммы, бумага, редактор)
Игра (карты, игроки, штрафы, наказания, правила)

11. Война (самолеты, пушки, сражения, ружья, солдаты)
12. Пение (звон, искусство, голос, аплодисменты, мелодия)
13. Землетрясение (пожар, смерть, колебания почвы, шум, наполнение)
14. Библиотека (город, книги, лекция, музыка, читатели)
15. Лес (лист, яблоня, дерево, охотник, волк)
16. Спорт (медаль, оркестр, состязание, победа, стадион)
17. Больница (помещение, сад, враг, радио, больные)
18. Любовь ( розы, чувство, человек, город, природа)
19. Патриотизм (город, друзья, родина, семья, человек)

Оценка по 9-ти балльной шкале

Методика «Выделение существенных признаков математических понятий»
Цель - определить умение выделять существенные признаки мат. понятий
1.Геометрия (фигура, точка, свойство, уравнение, теорема)
2. Уравнение (корень, равенство, сумма, неизвестная, произведение)
3. Планиметрия (плоскость, квадрат, прямоугольник, фигура, прямая)
4. Треугольник (вершина, катет, сторона, центр, перпендикуляр)
5. Сумма (слагаемое, равенство, плюс, делитель, множитель)
6. Периметр ( разность, сторона, сумма, фигура, прямоугольник)
7. Куб (угол, равенство, плоскость, сторона, вектор)
8. Дробь (делимое, делитель, частное, знаменатель, числитель)
9. Степень (корень, показатель, решение, основание, переменная)
10. Координата (плоскость, абсцисса, ось, ордината, прямая)

Диагностика творческого мышления
Необходимо за 3 минуты из слова Одуванчик составить как можно больше новых слов. Два раза одну и ту же букву использовать нельзя.
Высокий уровень – 9 и более слов
Средний уровень – 7- 8 слов
Низкий уровень - 6 и менее слов.

Диагностика творческого мышления
Напиши как можно больше предложений из пяти слов, в которых каждое слово начинается с указанной буквы.
Р – И – С – Н – К –
Подсчитывается количество верно составленных предложений. Фраза должна выражать какой то смысл, а слова в предложении должны быть согласованны по родам, числам и падежам.

Радуга и солнце небо красят.
Разные истины, случается, находит каждый.
Рассвет изумрудный сегодня, необыкновенно красив.
Речка искрится самыми необыкновенными красками.
Рискую искать себе незнакомую компанию.

Комплекс интеллектуальных игр для развития мышления учащихся
Составление предложений
Поиск общего
Исключение лишнего слова
Поиск аналогов
Поиск противоположных предметов
Поиск предметов по заданным признакам
Поиск соединительных звеньев
Способы применения предмета
Формулирование определений
Выражение мысли другими словами
Перечень возможных причин
Перечень заглавий к рассказу
Сокращение рассказа
Построение сообщения по алгоритму
Факт (что произошло)-причины – повод - сопутствующие события - аналогии и сравнения-последствия
Кто – что – где – чем – зачем – как – когда (алгоритм Цицерона)

Об организации игровых занятий для развития мышления, воображения и памяти школьников
Каковы исходные принципы построения занятий?
1. Использование на занятиях хорошо знакомого, привычного для ребят материала.
2. Взаимообмен различными подходами к выполнению заданий и тем самым значительное расширение диапазона познавательных процессов каждого из учащихся.
3. Интеллектуальная раскованность детей и общий положительный эмоциональный фон занятий.
Как можно оценить эффективность проведенных занятий?
Динамика успеха ребенка в выполнении самих игровых заданий.
Динамика успехов в выполнении традиционных интеллектуальных тестов.
Динамика общей успеваемости школьников и повышение их активности на уроках; анализ текущей успеваемости, наблюдение на уроках, беседы с учителями.

Какого возраста могут быть игроки?
От 11 до 17 лет, при этом внутри тренинговой группы желательно собрать игроков одного возраста.
На какой исходный уровень развития рассчитаны занятия?
Развиваемые в ходе тренинга интеллектуальные качества являются универсальными. Сложность может варьироваться за счет изменения содержания.
В группе должны быть дети сходного или различного интеллектуального уровня ?
Сходный уровень – лучше ориентируются в ответах друг друга, проявляют большую инициативу, прогрессируют более или менее равномерно.
Различный уровень – задаются высокие стандарты ответов, есть возможность изучать и заимствовать интеллектуальные стратегии, опробуя их при выполнении последующих заданий.
Как определить исходный интеллектуальный уровень детей?

Сколько детей должно быть в группе?
Наиболее успешно группа работает при числе игроков от 7 до 10.
Что делать с пассивными детьми?
Ненавязчивое приглашение
Тактика выжидания
Должен ли быть отсев и как с ним бороться?
От 25 до 28 % детей после 4-7 занятий отсеиваются.
На какое число занятий рассчитан тренинг?
Минимальное число занятий , при котором можно ожидать развивающего эффекта
в тренинге мышления 12-14 / 22-25
воображения 16-18 / 32 -35
памяти 8-10 / 20-22