Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Содержание

Слайд 2

Производная, основные понятия
и правила дифференцирования

Производная, основные понятия и правила дифференцирования

Слайд 3

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Слайд 4

Физический смысл производной

Понятие дифференцируемости функции в точке

Физический смысл производной Понятие дифференцируемости функции в точке

Слайд 6

Правила дифференцирования

(u(x) ± v(x))` = u`(x) ± v`(x)
(u(x)v(x))`= u`(x)v(x) + u(x)v`(x)
/
Дифференцирование

Правила дифференцирования (u(x) ± v(x))` = u`(x) ± v`(x) (u(x)v(x))`= u`(x)v(x) +
сложной функции. Пусть функция x = ψ(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = ψ(t). Тогда функция y=f(ψ(t)) дифференцируема в точке t, а производная вычисляется по формуле (f(ψ(t)) )`= f`(x)ψ`(t)
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. Пусть y = u(x) ± v(x) ⇒ ∆y = (u(x + ∆x) ± v(x + ∆x)) − (u(x) ± v(x)) = (u(x + ∆x) − u(x)) ± (v(x + ∆x) − v(x))
Разделив данное равенство на ∆ x и переходя к пределу, получим (u(x) ± v(x))`= u`(x) ± v`(x).

Слайд 8

Из условий дифференцируемости функций y = f(x) , x = ψ(t) следует,

Из условий дифференцируемости функций y = f(x) , x = ψ(t) следует,

∆y = f`(x)∆x + α∆x, ∆x = ψ`(t)∆t + β∆t,
где α∆x = o(∆x), β∆t = o(∆t)
Тогда будем иметь
∆y = f`(x)∆x + α∆x = f`(x)∆x + α(ψ`(t)∆t + β∆t).
Разделим левую и правую части равенства на ∆t В результате получим

4.

Слайд 9

Вычисление производных элементарных функций
Производные тригонометрических функций

y = sin x, y`= cosx

Вычисление производных элементарных функций Производные тригонометрических функций y = sin x, y`= cosx

Слайд 10

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции

Слайд 11

Производная обратной функции

Т е о р е м а
Если функция y =

Производная обратной функции Т е о р е м а Если функция
f(x) возрастает (убывает) в некоторой окрестности точки x0 и является дифференцируемой в этой точке, то существует обратная функция x = ϕ(y),которая имеет производную ϕ`(y0) = 1/f`(x0) в точке y0 = f(x0).
Д о к а з а т е л ь с т в о
Так как функция возрастает (убывает) в некоторой окрестности точки x0, она имеет обратную функцию. Из условия дифференцируемости следует непрерывность функции. Тогда, если ∆y → 0, то ∆x → 0. В этом случае имеем:

Слайд 12

Производная обратной функции

Производные обратных тригонометрических функций

Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций

Слайд 13

Производные логарифмических функций

Если функция y=f(x) положительна и дифференцируема, то справедливы следующие равенства:
ln

Производные логарифмических функций Если функция y=f(x) положительна и дифференцируема, то справедливы следующие
y = ln f(x), (ln f(x))`= y`/y
Величина, определяемая последней формулой, называется логарифмической производной. Ей удобно пользоваться для вычисления производных от функций вида y = u(x)v(x)
Предполагается, что функции u(x), v(x) являются дифференцируемыми и u(x) > 0 Прологарифмируем равенство y = u(x)v(x) ln y = = v(x)ln u(x).
Тогда
Откуда получаем

Производная степенной функции

y = xa, x > 0.
ln y = aln x =⇒ y`/y = a/x =⇒ y`= ya/x = аха-1

Слайд 14

Таблица производных основных элементарных функций

Таблица производных основных элементарных функций