Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная, основные понятия
и правила дифференцирования

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной
Понятие дифференцируемости функции в точке

Правила дифференцирования
(u(x) ± v(x))` = u`(x) ± v`(x)
(u(x)v(x))`= u`(x)v(x) + u(x)v`(x)
/
Дифференцирование сложной функции. Пусть функция x = ψ(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = ψ(t). Тогда функция y=f(ψ(t)) дифференцируема в точке t, а производная вычисляется по формуле (f(ψ(t)) )`= f`(x)ψ`(t)
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. Пусть y = u(x) ± v(x) ⇒ ∆y = (u(x + ∆x) ± v(x + ∆x)) − (u(x) ± v(x)) = (u(x + ∆x) − u(x)) ± (v(x + ∆x) − v(x))
Разделив данное равенство на ∆ x и переходя к пределу, получим (u(x) ± v(x))`= u`(x) ± v`(x).

3.

Из условий дифференцируемости функций y = f(x) , x = ψ(t) следует,
∆y = f`(x)∆x + α∆x, ∆x = ψ`(t)∆t + β∆t,
где α∆x = o(∆x), β∆t = o(∆t)
Тогда будем иметь
∆y = f`(x)∆x + α∆x = f`(x)∆x + α(ψ`(t)∆t + β∆t).
Разделим левую и правую части равенства на ∆t В результате получим
4.

Вычисление производных элементарных функций
Производные тригонометрических функций
y = sin x, y`= cosx

Производная логарифмической функции

Производная обратной функции
Т е о р е м а
Если функция y = f(x) возрастает (убывает) в некоторой окрестности точки x0 и является дифференцируемой в этой точке, то существует обратная функция x = ϕ(y),которая имеет производную ϕ`(y0) = 1/f`(x0) в точке y0 = f(x0).
Д о к а з а т е л ь с т в о
Так как функция возрастает (убывает) в некоторой окрестности точки x0, она имеет обратную функцию. Из условия дифференцируемости следует непрерывность функции. Тогда, если ∆y → 0, то ∆x → 0. В этом случае имеем:

Производная обратной функции
Производные обратных тригонометрических функций

Производные логарифмических функций
Если функция y=f(x) положительна и дифференцируема, то справедливы следующие равенства:
ln y = ln f(x), (ln f(x))`= y`/y
Величина, определяемая последней формулой, называется логарифмической производной. Ей удобно пользоваться для вычисления производных от функций вида y = u(x)v(x)
Предполагается, что функции u(x), v(x) являются дифференцируемыми и u(x) > 0 Прологарифмируем равенство y = u(x)v(x) ln y = = v(x)ln u(x).
Тогда
Откуда получаем
Производная степенной функции
y = xa, x > 0.
ln y = aln x =⇒ y`/y = a/x =⇒ y`= ya/x = аха-1

Таблица производных основных элементарных функций