2_5321245475066619345

Содержание

Слайд 2

Лінійною системою m рівнянь з n невідомими х1, х2,…хn називається система виду

Лінійною системою m рівнянь з n невідомими х1, х2,…хn називається система виду

де числа а11, а12,…аmn – коефіцієнти системи. Система рівнянь, що має принаймні один розв’язок, називається сумісною. Якщо система не має розв’язків, то вона називається несумісною.

(2.1)


2.1 Системи лінійних рівнянь

Слайд 3

Сумісна система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною, система, що має більш

Сумісна система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною, система, що має більш
ніж один розв’язок – невизначеною.
Найвищий порядок ненульового мінору називається рангом матриці і позначається rang A.

називаються основною і розширеною матрицями системи, відповідно.
Теорема (Кронекера-Капеллі): Для того щоб лінійна система була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці цієї системи дорівнював рангу її основної матриці.

Матриці

Слайд 4

Система рівнянь (2.1) еквівалентна системі Ах=b, записаній в матричній формі.
Якщо |А|

Система рівнянь (2.1) еквівалентна системі Ах=b, записаній в матричній формі. Якщо |А|
≠0, то матриця А називається невиродженою і для неї існує обернена матриця А-1

x = А-1b.

2.2 Матричний метод

де Аij – алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці.

Тоді

Слайд 5

Приклад: Розв’язати систему рівнянь

матричним методом.

отже, А – невироджена і

Приклад: Розв’язати систему рівнянь матричним методом. отже, А – невироджена і існує Aij=(-1)i+j Мij.
існує

Aij=(-1)i+j Мij.

Слайд 7

.

2.3 Правило Крамера

Матрична рівність х =А-1b можна записати у вигляді

звідки, з

. 2.3 Правило Крамера Матрична рівність х =А-1b можна записати у вигляді
урахуванням теореми Лапласа випливає, що

i=1..n,

де Δ= |А|, а Δ i– визначник, одержаний з Δ заміною i-го стовпчика стовпцем вільних членів

Слайд 8

Правило Крамера: якщо визначник системи рівнянь відмінний від 0, то вона має

Правило Крамера: якщо визначник системи рівнянь відмінний від 0, то вона має
єдиний розв’язок який визначається за формулами Крамера. Існування цього розв’язку випливає з теореми Кронекера-Капеллі, оскільки зі співвідношення |А| ≠0 випливає, що ранг основної матриці А дорівнює п, а ранг розширеної матриці, що містить п рядків, більше числа п бути не може і тому дорівнює рангу основної матриці.

Слайд 9

Приклад: Розв’язать систему рівнянь

за формулами Крамера.

Отже, система має єдиний

Приклад: Розв’язать систему рівнянь за формулами Крамера. Отже, система має єдиний розв’язок, визначений за формулами Крамера
розв’язок, визначений за формулами Крамера

Слайд 10

Дослідження системи

Якщо det≠ 0, то система має єдиний розв’язок.
Якщо det = 0

Дослідження системи Якщо det≠ 0, то система має єдиний розв’язок. Якщо det
і принаймні дин з визначників deti не дорівнює 0, то система несумісна.
Якщо det = deti = 0, то система має нескінчену множину розвязків або не має розв’язків.

Слайд 11

2.4 Метод Гаусса

Елементарними перетвореннями матриці називаются наступні операції:
а) перестановка двох рядків матриці;
б)

2.4 Метод Гаусса Елементарними перетвореннями матриці називаются наступні операції: а) перестановка двох
множення рядка на число α≠0;
в) додавання до одного рядка матриці іншого її рядка, помноженої на число α≠0;
г) транспонування матриці.

Елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу. Тому при обчисленні рангу матриці, вона за допомогою елементарних перетворень зводиться до матриці В, ранг якої легко знаходиться. Якщо A=rang B, то A~B.

Слайд 12

Розглянемо систему лінійних рівнянь

або до трапецієподібного виду

Її розширену матрицю елементарними перетвореннями

Розглянемо систему лінійних рівнянь або до трапецієподібного виду Її розширену матрицю елементарними
над рядкаси можна звести

або до трикутного виду

(2.2)

(2.3)

Слайд 13

Матриця (2.2) відповідає перетвореній системі

В цьому випадку, починаючи з останнтього рівняння, знаходим

Матриця (2.2) відповідає перетвореній системі В цьому випадку, починаючи з останнтього рівняння,
послідовно значения невідомих xn, xn-1,…x1 єдиним чином, якщо cnn≠0, … c22≠0, a11≠0. Якщо у деякому i-му рядку всі сij=0, а di≠0, то це свідчить про те, що что система несумісна, оскільки в даному випадку rang([A|b])≠rang(A).

Слайд 14

Приклад: Розв’язать систему рівнянь

методом Гаусса.

Розширена матриця системи має вид:

Переставим

Приклад: Розв’язать систему рівнянь методом Гаусса. Розширена матриця системи має вид: Переставим
другий рядок на місце першого, перший на місце третього, а третій на місце другого, одержим:

Від першого рядка помноженого на 4 віднімемо 3-й:

Слайд 15

Від другого рядка помноженого на 6 віднімемо 3-й:

Матриця зведена до трикутного виду,

Від другого рядка помноженого на 6 віднімемо 3-й: Матриця зведена до трикутного
їй відповідає перетворена система рівнянь:

Знаходим розв’язок цієї системи, починаючи з останнього рівняння:

Слайд 16

Для трапецієвидної матриці (2.3) перетворена система має вид:

Звідки знаходим

Надаючи змінним xm+1,

Для трапецієвидної матриці (2.3) перетворена система має вид: Звідки знаходим Надаючи змінним
xm+2,…xn довільні значення, знаходим із системи xm, xm-1,…x1. Таким чином, метод Гаусса надає можливість не тільки розв’язать систему, але і дати відповідь на запитання про її сумісність.

Слайд 17

Приклад: За допомогою метода Гаусса розвязать
систему

Оскільки, rang(A)=3<4=n, то система имеет ∞

Приклад: За допомогою метода Гаусса розвязать систему Оскільки, rang(A)=3 Основна матриця системи
нескінченну множин розв’язків.

Основна матриця системи має вид:

Поміняємо перший і третій рядки місцями:

Від першого рядка помноженого на 3 віднімемо послідовно другій, а
потім третій рядок. Потім від другого рядка віднімемо третій, одержимо:

- базисний мінор, х1, х2, х3 – базисні змінні, х4 –вільна змінна.

Имя файла: 2_5321245475066619345.pptx
Количество просмотров: 39
Количество скачиваний: 0