Открытый банк заданий по математике

Найдем отношение объемов
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
h
a

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
3
4

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .
1
1

.
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .
2
2
?

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
Найдем отношение
объемов
h
4h

.
Объем правильной шестиугольной пирамиды 6.
Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.
A
F
B
C
D
E
1
1
?
1
S
О
Для правильного 6-уг. сторона равна радиусу описанной окружности.
Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
6
10
10

.
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
.
S
D
C
B
G
6
A

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Задача очень простая, если догадаться опрокинуть пирамиду на удобную грань, например, SCB.
Основание – прямоугольный треугольник SCB, высота AS.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4,
а угол между боковой гранью и основанием равен 450.
Найдите объем пирамиды.
.
.
A
F
B
C
D
E
4
4
S
О
К
Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.
Найдем ОК по теореме Пифагора

Найдем отношение объемов
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12.
Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC.
B
C
D
B1
C1
D1
A1
12

Пирамида AD1CB1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCB1, D1B1CC1, AA1D1B1 и ADCD1. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в предыдущей задаче. Например, найдем объем пирамиды ABCB1.
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.
C1
Найдем отношение объемов
4,5
Четыре пирамиды по углам — ABCB1, D1B1CC1, AA1D1B1 и ADCD1
Объем пирамиды АD1CB1

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Найдем отношение объемов
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
12

От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания.
Найдите объем оставшейся части.
Найдем отношение объемов
150

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
S
У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв…
Одинаковая высота, но площадь оснований различна.
Найдем отношение объемов
8
V1
V2
Поработаем с выносным чертежом. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
S
B
D
A
C
Точка E – середина ребра SB, значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса).
Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD.
E
N
Найдем отношение объемов
12

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через
вершину пирамиды и среднюю линию основания.
Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
B
У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна.
Работать можно с любым из этих чертежей.
Найдем отношение объемов
12
V2
V1