Эконометрика, как наука

ТЕОРИЯ
Эконометрика изучает связи между явлениями. Связи могут быть полными – функциональными и неполными – корреляционными. Для функциональной зависимости характерным является то, что изменение признака следствия целиком определяется изменением признаком фактора.

ТЕОРИЯ
Например: площадь круга выражается формулой , S = πR² т.е. площадь круга изменяется от изменения квадрата ее радиуса.
Корреляционные связи характеризуются тем, что величина признака следствия изменяется под влиянием нескольких факторов. При этом одни факторы оказывают влияние на все единицы изучаемой совокупности, а другие -

ТЕОРИЯ
только на отдельные из них. Корреляционные связи проявляются отчетливо только в большом числе факторов, т.к. при этом сглаживаются индивидуальные особенности и второстепенные факторы. Например: анализируя производительность труда на предприятии, можно увидеть зависимость от ее уровня энерговооруженности труда.

ТЕОРИЯ
Но производительность труда зависит и от других факторов: от режима работы предприятия, организации снабжения, квалификации работников и т.д. Поэтому зависимость производительности труда от уровня энерговооруженности труда не может быть полной, а является корреляционной.

ТЕОРИЯ
Для выявления корреляционных зависимостей используют теоретическую формулу связи в виде математического уравнения, которое называется уравнением регрессии. Регрессия – это зависимость среднего значения величины от другой величины или нескольких величин.

ТЕОРИЯ
Уравнение регрессии может быть описано уравнением линейной связи
Y = a₀ + a₁x,
гиперболой Y = a₀ + a₁1/x ,
параболой Y = a₀ + a₁x + a₂x².
Если результативный признак (Y) с увеличением факторного признака (X) равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой.

ТЕОРИЯ
Найти теоретическое уравнение связи – это значит рассчитать параметры прямой линии методом наименьших квадратов, который дает систему двух нормальных уравнений.

ТЕОРИЯ
Yx = a₀ + a₁ x
na₀ + a₁∑(x) = ∑(y)
a₀∑(x) + a₁∑(x) = ∑(xy)
Yx – теоретическое значение результативного признака.
Y – индивидуальное значение результативного признака.

ТЕОРИЯ
n– число показателей.
X - индивидуальное значение результативного признака.
a₀,a₁ – параметры (коэффициенты) уравнения регрессии.

ТЕОРИЯ
Теоретическое уравнение выражает функциональную зависимость (Y) от (X). Это возможно допустить, если прочие факторы, влияющие на (Y) не оказывают в данном случае существенного влияния.

ТЕОРИЯ
Это бывает, когда корреляционная зависимость между (Y) и (X) высокая. В этом случае параметр (a₁) при (X) в уравнении регрессии приобретает большое практическое значение. Этот параметр, который называется коэффициентом регрессии,
характеризует, в какой мере увеличивается (Y ) , с ростом величины (X).

ЗАДАЧА
Имеются выборочные данные по однородным предприятиям: энерговооруженность труда одного рабочего (квт /час) и выпуск готовой продукции (шт).
ОПРЕДЕЛИТЬ:
1. Факторные и результативные признаки.
2. Провести исследование взаимосвязи энерговооруженности и выпуска готовой продукции.

ЗАДАЧА
3. Построить уравнение регрессии и вычислить коэффициент регрессии.
4. Построить графики практической и теоретической линии регрессии.
5. Определить форму связи и измерить тесноту связи.
6. Провести оценку адекватности.

РЕШЕНИЕ
1. (Х) – факторным признаком является энерговооруженность.
(Y)– результативным признаком является выпуск готовой продукции.
2. Исходные данные поместим в следующую таблицу.

РЕШЕНИЕ
3. Первичная информация проверяется на однородность по признаку-фактору с помощью коэффициента вариации

РЕШЕНИЕ
4. Проверка первичной информации на нормальность распределения с помощью правила «трех сигм». Сущность правила заключается в том, что в интервал «трех сигм» должны попасть факторные признаки. Те показатели, которые больше или меньше интервала «трех сигм», удаляются из таблицы.

РЕШЕНИЕ
5. Исключить из первичной информации резко выделяющиеся единицы, которые по признаку-фактору не попадают в интервал «трех сигм».
Вывод: Резко выделяющихся единиц в первичной информации нет.

6. Для установления факта наличия связи производится аналитическая группировка по признаку-фактору. Построить интервальный ряд распределения.
При этом формула для определения величины интервала имеет следующий вид:

РЕШЕНИЕ
7. Построить эмпирическую линию связи. По оси абсцисс откладываются значения интервалов факторного признака – (X) . По оси ординат откладываются значения средней величины результативного признак – (Ȳ).

ЭМПИРИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ СВЯЗИ

8. Для измерения степени тесноты связи используется линейный коэффициент связи:

РЕШЕНИЕ
Полученное значение линейного коэффициента корреляции необходимо сравнить с табличными данными.

РЕШЕНИЕ
Т.о. связь высокая. r = 0,86, а интервал связи (0,7 – 0,99).
9. Предположим, что между энерговооруженности труда и выпуском готовой продукции существует линейная корреляционная связь которую можно выразить уравнением прямой.
Для этого составим новую таблицу.

Вычислим параметры прямой с помощью системы двух нормальных уравнений:
Yx = a₀ + a₁X
na₀ + a₁Σ(X) = Σ(Y)
a₀∑(X) + a₁∑(X²) = ∑(XY)
10a₀ + 20a₁ = 264
20a₀ + 45a₁ = 555
10a₀ + 20a₁ = 264 х { (-2)}
20a₀ + 45a₁ = 555

РЕШЕНИЕ
-20a₀ – 40a₁ = -528
+20a₀ + 45a₁ = 555
5a₁ = 27
a₁ = 5,4
a₀ = 15,6

РЕШЕНИЕ
Конечное уравнение следующее.
Yx = 15,6 + 5,4(X)
В уравнении регрессии коэффициент a₁ показывает, что с увеличением энерговооруженности труда одного рабочего на 1 (квт/час) выпуск готовой продукции возрастает на 5,4 шт.

РЕШЕНИЕ
Построим графики практической и теоретической линии регрессии. По оси абсцисс отложим значения факторного признака (x) , по оси ординат (Yx) и (Y). Чтобы определить (Yx) в уравнение регрессии подставить значения (x) и занести в таблицу.

ЛИНИИ РЕГРЕССИИ

ИЗМЕРИТЬ ТЕСНОТУ СВЯЗИ
10. Одним из важнейших этапов исследования является измерение тесноты связи. Для этого применяют линейный коэффициент корреляции (r) и индекс корреляции (R). Индекс корреляции применяется для измерения тесноты связи между признаками при любой форме связи, как линейной, так и нелинейной.

Но его можно вычислять только после того, как определена форма связи и вычислена теоретическая линия регрессии.

Индекс корреляции измеряется от 0 до 1. Чем ближе индекс к 1, тем теснее связь между признаками. Частным случаем индекса корреляции является коэффициент корреляции, который применяется только при линейной форме связи. В отличии от индекса корреляции линейный коэффициент корреляции показывает не только тесноту связи, но и направление связи (прямая или обратная) и измеряется от -1 до +1.

ВЫВОД
Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тесную связь между производительностью труда и энерговооруженностью труда. Т.к. R=r=0,86 то можно сделать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

АДЕКВАТНОСТЬ МОДЕЛИ
Проведем оценку адекватности регрессионной модели с помощью критерия Фишера.

ВЫВОД
Табличное значение критерия Фишера равно (Fт = 20,20). Эмпирическое значение критерия Фишера (Fэ = 23,048)сравниваем с табличным.
Если Fэ < Fт, то уравнение регрессии можно признать неадекватным.
Если Fэ > Fт, то уравнение регрессии признается значимым. (23,048 > 20,20)
Т.о. данная модель является адекватной.