Решение тригонометрических уравнений

Цели урока :
Повторить формулы для решения
простейших тригонометрических уравнений.
Закрепить навык решения тригонометрических уравнений.
Развитие умения анализировать, обобщать.

План урока.
Устная работа.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Основные способы решения тригонометрических уравнений.
Итог урока.

Устная работа.
Упростите выражение:
Sin²2x + cos²2x = sin x + sin3x =
1 -sin²0,5x = cos y + cos5y =
Cos²x – 1 = sin4x – sin2x =
Sin (x +3y) = cos5y – cos3y=
cos (x + 2y) = sin4x =
tg (2x + 3y) = cos6x =

Решение тригонометрических уравнений сводится, в конечном итоге, к решению простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, tg x = a с помощью различных преобразований.
Основные способы решения тригонометрических уравнений.

Решение простейших тригонометрических уравнений.
sin x = a,
sin x =1
sin x =0
x =(-1)ⁿarcsin a + πn, n Є Z
x =π/2 +2πn, n Є Z
x=πn, n Є Z
sin x= -1
x= - π/2 +2πn, n Є Z.
cosx =a
x = ± arccos a +2πk, kЄZ.
cosx = 1
x = 2πk, kЄZ.
cos x = 0
x =π/2 +πk, k Є Z.
cos x = - 1
x =π +2πk, k Є Z
x=arctg a+ πn, n Є Z
tg x =a,

Уравнения asin²x + bcos²x + c = 0 и acos ²x + bsin²x + c = 0 сводятся к квадратным относительно t=cosx и t=sinx
Например: 2cos²x + 3 sin²x + 2cosx = 0.
Заменим sin²x = 1 - cos²x и получим квадратное уравнение относительно cosx. ☺
Ответ: x = π +2πn, n∈z.
♦1. Уравнения, приводимые к квадратным.

asin²x+bcosx·sinx+c·cos²x = 0, где а =0 равносильно уравнению
atg²x +btgx + c = 0.
Например : 3sin2x + 8 cos²x = 7.
Заменим sin2x =2sinx·cosx, 7= 7(sin²x + cos²x) .
Приведем подобные и разделим обе части
уравнения на cos²x=0.
Получим уравнение: 7tg²x – 6tgx – 1 = 0.
Ответ: π/4+πn, n∈Z, -arctg1/7+πk, k∈Z.
♦2. Однородные уравнения.

♦3. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул сложения.
sinx +siny = 2sin(x+y)/2 ·cos(x-y)/2
sinx- siny = 2sin(x-y)/2·cos(x+y)/2
cosx +cosy = 2cos(x+y)/2·cos(x-y)/2
cosx – cosy = -2sin(x-y)/2·sin(x+y)/2
Пример: COSX + COS3X = 0
Ответ: х = π/4+ π/2 •n; n∈Z.
х = π/2+ πn, n∈Z

♦4. Метод введения вспомогательного аргумента.
Уравнение acosx + bsinx=c приводят к виду
, где ϕ вспомогательный аргумент.
Например:

Уравнения в ЕГЭ
Найдите корни
принадлежащие отрезку [ ]

Итог урока.
Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?
По записи уравнения определите способ решения:
1)
2)
3)
4)
5)
Найдите корни принадлежащие отрезку [π;3π]