Экстремумы. Максимумы и минимумы

Задание на два занятия
1.Записать определение 1, слайд №5
Записать к нему пример, слайд №7
2.Записать определение 2, слайд №8
Записать к нему пример, слайд №9
3.Слайд №15,решить 1,2,3
На следующем занятии решить 4-10

Вопросы для повторения
1. Какую функцию называют возрастающей?
2. Приведите пример возрастающей функции
3. Какую функцию называют убывающей?
4. Приведите пример убывающей функции

При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности
Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку. Например,
(2; 6) одна из окрестностей точки 3,
(-3,3; - 2,7) одна из окрестностей точки -3

Определение 1.
Точка х0 называется точкой минимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполнено неравенство
f (хо) ≤ f (х)

Пример 1.
Точка хо=0 является точкой минимума функции f(х) = х2.
Доказательство:
Возьмём х1 = 1 и х2 = 2
Найдём: f(х0) = f(0) = 02 = 0
Найдём: f(х1) = f(1) =12 = 1
Найдём: f(х2) = f(2) = 22 = 4
Видим, что f(х1)≥ f(х0)
f(х2)≥ f(х0)
По определению 1 хо=0 является точкой минимума функции f(х) = х2

Определение 2.
Точка х0 называется точкой максимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполнено неравенство
f (хо) ≥ f(х)

Пример 2.
Точка хо=0 является точкой максимума функции f(х) = -х2.
Доказательство:
Возьмём х1 = 1 и х2 = 2
Найдём: f(х0) = f(0) = 02 = 0
Найдём: f(х1) = f(1) =-12 =- 1
Найдём: f(х2) = f(2) = -22 =- 4
Видим, что f(х1) ≤ f(х0)
f(х2) ≤ f(х0)
По определению 2 хо=0 является точкой максимума функции f(х) =- х2

Рассмотрим график функции

Для точек минимума и максимума функции принято общее название - их называют точками экстремума.

Выполнить задание.
Для функций, изображённых на графиках найти точки минимума и максимума

Выполнить задание.
Исследовать на экстремумы:
1.хо = -2, для f(х) = х2 + 4х+3;
2. хо = -2, для f(х) = -х2 - 4х;
3. хо = 1, для f(х) = 2х2 – 4х+3;
4. хо = 3, для f(х) = х2 – 6х+3;
5. хо =-2, для f(х) = -2х2 – 8х.

Выполнить задание.
Исследовать на экстремумы:
6.хо = -1, для f(х) = х2 + 2х+5;
7. хо = -3, для f(х) = -х2 - 6х+1;
8. хо = -1, для f(х) = 2х2 + 4х+3;
9. хо = 3, для f(х) = х2 – 6х+3;
10. хо =-2, для f(х) = -2х2 – 8х+3.

Вопросы для закрепления
1. Что называют точкой минимума функции? 2. Что называют точкой максимума функции?
3. Приведите примеры точек максимума и минимума функций.
4. Как принято называть точки минимума и максимума функции?