Метод геометрических рядов и точные решения дифференциально-разностных уравнений

Актуальность и цели работы
В последнее время возрос интерес к разработке асимптотических методов нелинейной динамики. Имеется потребность в методах, способных находить точные решения дифференциально разностных уравнений (ДРУ) и систем ДРУ. В работе рассмотрен метод геометрических рядов.
Целью данной работы является описание данного метода и его применение к некоторым широко известным уравнениям.

Метод получения точного решения на примере уравнения Бюргерса

Метод получения точного решения на примере уравнения Бюргерса

Цепочка Вольтерры
Переход к уравнению бегущей волны
Ищем решение в виде экспоненциального ряда функций с неизвестными коэффициентами
Следовательно

Цепочка Вольтерры
Получим степенной ряд по переменной Z:
Далее осуществляется проверка, что ряд является геометрическим, путем вычисления для него нескольких первых диагональных аппроксимант Паде: [13]:

Цепочка Вольтерры

Модифицированное дискретное уравнение Савада-Котера
Перейдя к текущей переменной получим:
Применяя те же преобразования что и в предыдущем случае, собирая по степеням экспоненциальной функции и приравнивая к нулю коэффициент при eZ, получаем:

Модифицированное дискретное уравнение Савада-Котера
Как и в предыдущем случае, последовательно приравнивая коэффициенты при e2z,e3z.. к нулю находим коэффициенты M2,M3, ... после замены eZ=Z ряд принимает форму
Расчет аппроксимаций Паде показывает, что [1/1] = [2/2], [2/2]= [3/3]. После обратной замены Z=eZ, аппроксиманта
становится точным решением уравнения.

Модифицированное дискретное уравнение Савада-Котера