Элементы комбинаторики. Перестановки

Тема урока
Элементы комбинаторики.
Перестановки.

Таблица факториалов:
Определение.
Открываем новое
Факториал
Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Обозначение n!
Пример:
Запомни:

На примерах учимся
№748
Найдите значение выражения

На примерах учимся
№746

Определение.
Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
Pn = n!
Открываем новое
Перестановки
Читают «P из n».
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение (без повторений) этих элементов в определенном порядке.

Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P8 = 8! = 40 320
Открываем новое
Пример 1
Ответ: 40320.

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?
Решение: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.
Открываем новое
Пример 2
Ответ: 18.
Решение (II способ) 3·3·2·1=18.
Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.
Первую цифру можно выбрать тремя способами.(0 не может стоять на первом месте)
После выбора первой цифры останутся три.
Вторую цифру можно выбрать тремя способами.
Третью цифру можно выбрать двумя способами.
Остается приписать одну цифру.
Следовательно, общее число искомых четырехзначных чисел равно произведению

Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом порядке?
Решение:
Открываем новое
Пример 3
Ответ: 241920.

На примерах учимся
№1
Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?
Ответ: 1)6 способов; 2)120 способов.

На примерах учимся
№2
Сколько различных правильных
(с точки зрения русского языка)
фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении:
«Я пошла гулять»;
«Во дворе гуляет кошка»?
Ответ: 1)6 способов; 2)6 способов.

На примерах учимся
№3
Сколькими способами можно с помощью букв К, L, М, Н обозначить вершины четырехугольника?
Ответ: 24 способа.

На примерах учимся
№735
Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?
Ответ: 119 выражений.

На примерах учимся
№736
Ответ: 6 вариантов.
Ольга помнит, что телефон подруги оканчивает­ся цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:
На примерах учимся
№741
Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций:
а) Олег находится в конце ряда;
б) Олег находится в начале ряда , а Игорь в конце;
в) Олег и Игорь стоят рядом;
а) (Олег находится в конце ряда – фиксируем). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом
б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем

(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:
На примерах учимся
№741
Ответ: 720; 120;1440.
Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций:
а) Олег находится в конце ряда;
б) Олег находится в начале ряда , а Игорь в конце;
в) Олег и Игорь стоят рядом;
в) Пусть Олег и Игорь стоят рядом. Возможны два варианта их расположения в паре (Олег – Игорь, Игорь – Олег). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами.
Замечание: Такой прием называется «склеиванием» элементов.

На примерах учимся
№737
Ответ: 720 чисел; 600 чисел.
Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:
а) 1,2, 5, 6, 7, 8;
б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.

Что изучает комбинаторика?
Кем был введен в математический обиход термин «комбинаторика»?
Какие способы решения комбинаторных задач рассмотрели на уроке?
Что означает запись n!?
Найдите значение выражения
Что называется перестановкой из n элементов?
Ответим на вопросы