Производные сложной и обратной функций

П р а в и л о вычисления производной сложной функции. Для нахождения производной сложной функции y = f(ϕ(x)) следует производную данной функции по промежуточному аргументу yu′ = f′(u) умножить на производную ux′ = ϕ′(x) промежуточного аргумента по независимому аргументу.
З а м е ч а н и е. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов, «вложенных» друг в друга, несколько. Так, если y = f(u), где u = ϕ(v), v = ψ(x), то
yx′ = fx′(u(v(x))) = yu′⋅ uv′⋅vx′(x).
П р и м е р 4. Найти производную: y = f(x) = (3x2 + 1)2.
Решение: По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y′ = ((3x2 + 1)2)′ = 2⋅(3x2 + 1)⋅(3x2 + 1)′ =
= 2⋅(3x2 + 1)⋅3⋅(x2)′ = 2⋅(3x2 + 1)⋅3⋅2⋅x = 12x⋅(3x2 + 1).
Ответ: y′ = ((3x2 + 1)2)′ = 12x⋅(3x2 + 1).
§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)

§7. Таблица производных