Неопределенный интеграл. Лекция 2.1

1.1. Понятие первообразной функции
и неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла
Интегральное исчисление фактически гораздо старше дифференциального, поскольку вычисление площадей, поверхностей и объемов занимало величайших математиков, начиная с античных времен. Среди них были Архимед, Кеплер, Кавальери, Вивиани, Ферма, Грегори СентВинсент, Гулдин, Грегори, Барроу. Решающий прорыв наступил, когда Ньютон, Лейбниц и И. Бернулли независимо открыли, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, и, следовательно, все достижения вышеупомянутых исследователей можно свести к нескольким правилам дифференцирования.

Определение 1.1. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на интервал (a, b), если F′(x) = f(x) в любой точке интервала (a, b).
Примеры:
1) f(x)=0, F(x)=C (Const), (-∞,∞)
2) f(x)=a (Const), F(x)=ax, (-∞,∞)
3) f(x)=cos x, F(x)=sin x, (-∞,∞)
4) f(x)=1/x, F(x)=ln x, (0,∞)
5) f(x)=-2sin 2x, F1(x)= cos 2x, F2(x)= -2sin2x

Теорема 1.1. Если функции F1(x) и F2(x) являются первообразными для f(x) на интервал (a, b), то в любой точке интервала (a, b) выполняется равенство F1(x) - F2(x) = С, где С – произвольная константа.
Следствие. Если функция F1(x) – первообразная для f(x) на интервал (a, b), и F2(x) - другая первообразная, то в любой точке интервала (a, b) выполняется равенство F1(x) = F2(x) + С, где С – произвольная константа.
Пример. Функции ln |x| и ln|x| + sign x являются первообразными для 1/x на множестве X = (-∞,0)∪(0,∞), но их разность не является константой.

Таблица неопределенных интегралов

Основные свойства неопределенного интеграла.

Непосредственное интегрирование

1.2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой). Интегрирование по частям.

Примеры

Пример