Функции и графики

«Функции и графики»
1. Что такое функция? Определение
2. Графики элементарных функций
3. Свойства функции
5. Преобразование графиков функций
Упражнения: Указать свойства функции
4.Как построить график по заданным свойствам функции

Пусть есть множества X и Y. Если каждому элементу
х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент y из множества Y, то говорят, что задана функция у = f(x)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Х
У
Y
X
f(закон)

1) Формулой
Способы задания функции
у = х2 + 2х – 4
у = 3х
f(x) = log2 (3x+4)
f(x) = COS 2x
2) Таблицей

У=f(х)
У
Х
0
ось ординат
ось абсцисс
начало координат
Способы задания функции
3) Графиком
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
1
2
3

А(-2;1)
В(1;-2)
М(х; У)
Графиком функции У=f(х) называется множество точек координатной плоскости имеющих координаты (х ; f(х)) или (х ; У)

1. Линейная функция
Графики элементарных функций
у
х
У = х
у = 2х
у = -х
y = к х + в
к – угловой коэффициент
0
y = х к=1
y = 2 х к=2
y = - х к=-1
y = ½ х к = ½
1
1
2
-1
y = ½х

1. Линейная функция:
Графики элементарных функций
у
х
y = к х + в
к – угловой коэффициент
0
y = х +2
y = х -2
1
1
2
-1
у = х-2
у = х+2
y = х
-2

1. Линейная функция:
Графики элементарных функций
у
х
y = к х + в
к – угловой коэффициент
0
y = х
y = 2
х = 3
1
1
1
2
-1
-2
3
2
3
y = 2
Х = 3

2. Квадратичная функция у=ах2 + bх + с
Графики элементарных функций
0
х0
у0
парабола
если а > 0
Ветви параболы направлены вверх
если а < 0
Ветви параболы направлены вниз
а > 0
а < 0

Кубическая функция: у=ах3 + bх2 + сх + d
Графики элементарных функций
кубическая парабола
0
у=х3
1
1
-1
-1
у=х3

4. Обратно пропорциональная функция: У=
Графики элементарных функций
гипербола
1
-1
1
-1
у = -

5. Модульная функция: у = | х |
Графики элементарных функций
0
1
1
-1

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
у=f(х)
У
х
0
а1
а9
1. Область определения функции –
это множество значений аргумента Х при которых существует функция
ООФ : Х є [ а1 ; а9 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
У =f( х )
в1
в4
2. Множество значений функции –
это множество всех чисел, которые может принимать у
МЗФ : у є [ в4 ; в1 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
У =f(х )
У
х
0
а2
а4
а6
а8
3. Корни ( или нули) функции –
это такие значения х , при которых функция равна нулю
( у=0 )
f (x) = 0 при Х = а2 ; а4 ; а6 ; а8

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
у=f(х)
У
х
0
а1
а2
а4
а6
а8
а9
4. Участки знакопостоянства функции –
это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля
( т.е. у > 0 или у < 0 )
f (x) > 0 при Х є ( а1 ; а2 ); ( а4 ; а6 ); ( а8 ; а9 )

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
у=f(х)
У
х
0
а2
а4
а6
а8
4. Участки знакопостоянства функции –
это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля
( т.е. у > 0 или у < 0 )
f (x) < 0 при Х є ( а2; а4 ) ; ( а6 ; а8 )

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
у=f(х)
У
х
0
а3
а5
а7
а9
5. Монотонность функции –это участки возрастания и убывания функции
Функция возрастает при Х є [ а3; а5 ] ; [ а7 ; а9 ]
а1
Функция убывает при Х є [ а1; а3 ] ; [ а5 ; а7 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
у=f(х)
У
х
0
а3
а5
а7
в2
в3
в4
Экстремумы функции
Fmax (x)
Fmin (x)
Fmin (x)
Fmax (х) = в2 в точке экстремума х = а5
Fmin (х) = в3 в точке экстремума х = а3
Fmin (x) = в4 в точке экстремума х = а7

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
у=f(х)
у
х
0
а7
а9
в1
в4
7. Наибольшее и наименьшее значения функции
(это самая высокая и самая низкая точки на графике функции)
наибольшее значение F (х) = в1 в точке х = а9
наименьшее значение F (x) = в4 в точке х = а7

F(x) = cos x
х
0
0
Х
-Х
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Четные и нечетные функции
Функция называется четной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = f(-x)
График четной функции симметричен относительно оси У
f(x)
Х
-Х
f(x)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Четные и нечетные функции
Функция называется нечетной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = - f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат
0
у=х3
х
f(x)
-f(x)
-х

Периодичность функций
Если рисунок графика функции повторяется, то такая функция называется периодической, а длина отрезка по оси Х называется периодом функции (T)
Периодическая функция подчиняется правилу f(x) = f(x+T)
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

у=f(х)
Т = 6
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Функция y=f(x) - периодическая с периодом Т = 6

Указать свойства функции
1) ООФ
2) МЗФ
3) Нули функции
4) Функция положительная
Функция отрицательная
5) Функция возрастает
Функция убывает
6) Экстремумы функции Fmax (х) Fmin (х)
7) Наибольшее значение функции
Наименьшее значение функции
у=f(х)

Указать свойства функции
у=f(х)

Указать свойства функции
у=f(х)

Указать свойства функции
у=f(х)

Построить график функции
Дано:
а) Область определения – есть промежуток [-4;3]
б) Значения функции составляют промежуток
[-5;3]
в) Функция убывает на промежутках [-4;1] и [2;3]
возрастает на промежутке [-1;2]
г) Нули функции : -2 и 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Зная график элементарной функции, например
f(x) = x 2 можно построить график «сложной» функции, например f(x) = 3(x+2) 2 - 16
с помощью правил преобразования графиков

Правила преобразования графиков
1 правило: Смещение вдоль оси Х
0
0
4
-4
F(x) = x2
F(x) = (x+4)2
F(x) = (x-4)2

Правила преобразования графиков
2 правило: смещение вдоль оси У
4
-4
F(x) = x2+ 4
F(x) = x2- 4

Правила преобразования графиков
3 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси Х
F(x) = sin x
F(x) = sin 2x

F(x) = sin x
Правила преобразования графиков
3 правило: Cжатие (растяжение) графика вдоль оси Х

Правила преобразования графиков
4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У
F(x) = cos x
F(x) = 2cos x

Правила преобразования графиков
4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У
F(x) = cos x

Правила преобразования графиков
4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У
F(x) = cos x
F(x) = 2cos x