Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Выполните задание
Для каждой функции определите производную и первообразную
0 ошибок – оценка «5»; 1 ошибка – оценка «4»;
2 ошибки – оценка «3»; 3-7 ошибок – оценка «2».

Проверим ответы
1-д-ж
2-в-г
3-е-а
4-ж-в
5-а-б
6-г-е
7-б-д

Вопросы для повторения
Что значит решить уравнение?
Каков алгоритм решения уравнений?
Какие виды уравнений вы умеете решать?

Тема: «Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными»

Определение дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое наряду с неизвестной функцией входит и ее производная.
Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Автономное уравнение
Вид уравнения:
Умножим обе части уравнения на dx,
Метод решения:
Таким образом,
проинтегрируем обе части получившегося уравнения:

Уравнение с разделяющимися переменными
Вид уравнения:
Метод решения:
Это уравнение сводится к системе
В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x:
.

Однородное уравнение
Вид уравнения:
Линейное однородное уравнение
Вид уравнения:
Линейное уравнение
Вид уравнения:
.

Пример 1.
Найдите общее решение дифференциального уравнения

Пример 2.
Найдите общее решение дифференциального уравнения