Графики функций

СОДЕРЖАНИЕ
Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций
Графики функций вида y=|f(x)|, y=f(|x|)
График функции y=|f(|x|)|
Графики «функций» |y|=f(x), при f(x)≥ 0; |y|=|f(x)|
Графики функций вида y=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn| и
y=|||x-a|-b|-c|
Графический метод решения некоторых задач с параметрами
Построение графиков «функций», аналитические выражения которых содержат знак модуля, выраженных неявно
Построение множества точек плоскости, задаваемого соотношениями

СИММЕТРИЯ СНЕЖИНКИ
Я хочу сказать вам лично,
Что снежинка –симметрична!
И зеркальна, и центральна,
А не просто так банальна!
На главную
Далее
Назад

Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций
Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».
Математическое строгое понятие о симметрии сформировалось сравнительно недавно –в ХIХ веке. В наиболее простой трактовке современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.
Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.
Виды симметрии на плоскости:
- осевая
- центральная
-трансляционная:
поворот;
параллельный перенос,
скользящая симметрия.
На главную
Далее
Назад

Осевая Симметрия
Преобразование, при котором каждая точка А фигуры
(или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси s точку А' , при этом отрезок АА ' ┴ s, называется осевой симметрией.
Если точка А лежит на оси s, то она симметрична самой себе, т.е. А совпадает с А ' .
В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси s фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси s, а ось s называется её осью симметрии.
На главную
Далее
Назад

Центральная симметрия
Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А ', симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.
Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О. При этом центр О называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.
На главную
Далее
Назад

Трансляционная симметрия
Поворот
Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования. Центральная симметрия есть поворот на 180°.
На главную
Далее
Назад
α

Параллельный перенос
Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние, называется параллельным переносом. Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор а.
На главную
Далее
Назад

На главную
Далее
Назад
Скользящая симметрия
Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.
Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии.
При построении графиков функции симметрия встречается довольно часто.

На главную
Далее
Назад
Множество действительных чисел называется симметричным относительно точки х=0 числовой оси, если вместе с любой точкой х ему принадлежит точка (-х).
ОПРЕДЕЛЕНИE:
Функция y=f(x) с симметричной относительно начала координат областью определения D(f) называется:
четной, если для любого x Є D(f) выполняется равенство
f(-x)=f(x);
нечетной, если для любого x Є D(f) выполняется равенство
f(-x)=-f(x).
Для того чтобы построить график четной функции, достаточно построить график функции при x≥0 и полученную часть графика отобразить симметрично относительно оси oy.
Пример: Построить график функции y=|x|+1
D(y)=R ; y(-x)=|-x|+1=|x|+1=y(x)
Функция y=|x|+1 – чётная.
Строим график функции y=|x|+1 при х ≥ 0,т.е. y=x+1.
2) Симметрично относительно оси oy отражаем часть графика при x ≥ 0.
x
y

Графики функций вида y=|f(x)|, y=f(|x|)
1. Построение графика функции вида y=|f(x)|
Чтобы построить график функции вида y=|f(x)|, надо сначала построить график функции y=f(x), а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси ox, зеркально отразить относительно этой оси.
Так как f(|-x|)=f(|x|), то функция y=f(|x|) четная и для построения ее графика следует удалить точки графика функции f(x), находящиеся слева от оси oy, а все точки, лежащие на оси oy и справа от нее, отобразить симметрично относительно оси oy.
На главную
Далее
Назад
Пример 1:
Постройте график функции
y=|2x-3|:
1)Строим график функции y=2x-3
2)Из графика функции y=2x-3 получаем график функции
y=|2x-3|, отобразив симметрично относительно оси ox часть графика, лежащую под осью.

Пример 2: Постройте график функции y=|x²+4x-5|:
1)Строим график функции
y=x²+4x-5;D(y)=R; графиком является парабола; y=(x+2)²-9;
(-2;-9)- координаты вершины;
x=-2 – ось симметрии.
2)Из графика функции
y= x²+4x-5
получаем график функции
y=|x²+4x-5|, отобразив симметрично оси ox ту часть графика, которая лежит ниже
этой оси.
На главную
Далее
Назад
Взять на заметку!
Каких чисел точно не будет в множестве значений функции y=|f(x)|?
В каких координатных четвертях расположен график функции y=|f(x)|?

На главную
Далее
Назад
Пример 1: Построить график функции y=-x²+4|x|-5
2. Построение графика функции вида y=f(|x|). Так как f(|-x|)=f(|x|), то функция y=f(|x|) четная и для построения ее графика следует удалить точки графика функции f(x), находящиеся слева от оси OY, а все точки лежащие на оси OY и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси OY.

На главную
Далее
Назад
Пример 2: Построить график функции y=x(x²-4x+3)/│x│:
Очевидно, что следует рассматривать два случая: x>0 и x<0. Имеем: y=x²-4x+3, если x>0 и y=-x²+4x-3, если x<0. График данной функции состоит из двух соответствующих парабол.

График функции y=|f(|x|)|
Чтобы построить график функции вида y=|f(|x|)| нужно:
1)Построить график функции y=f(x) для x≥0.
2)Отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат.
3)Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.
На главную
Далее
Назад
Пример: Построить график функции y=|2-|x||.
y=2-x при x≥0
y=2-|x| y=|2-|-x||
Отметим, что данный и ему подобные графики можно построить другими способами. Рассмотрим один из них.

На главную
Далее
Назад
Второй способ.

Графики «функций» |y|=f(x), при f(x)≥0; |y|=|f(x)|
На главную
Далее
Назад
1. Построение графиков «функций» вида |y|=f(x) при f(x)≥0.
По определению абсолютной величины y=±f(x), где f(x)≥0. Строго говоря, y нельзя назвать функцией x, так как каждому значению аргумента x будут соответствовать два значения «функции»: +f(x) и –f(x), поэтому далее в аналогичных случаях будем брать слово «функция» в кавычки или называть зависимостью.
Алгоритм построения:
1) Установить, для каких x выполняется условие f(x)≥0.
2) На найденных промежутках значений x построить график функции y=f(x).
3)Выполнить зеркальное отражение графика относительно оси ox.
Пример 1 : |y|=-4/x

2.Построение графиков «функций» вида |y|=|f(x)|.
Очевидно, что y=±|f(x)|, т.е. график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс.
Соответствующая последовательность действий:
1) Построить график функции y=|f(x)|.
2) Осуществить его зеркальное отражение относительно оси ox.
Пример 2: |y|=|x|
На главную
Далее
Назад

Графики функций вида y=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn| и y=|||x-a|-b|-c|
На главную
Далее
Назад
Чтобы построить график функции вида y=|||x-a|-b|-c| и
y=|x-x1|+…+|x-xn|, можно найти точки «перелома» функции, а затем провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками «перелома». Однако бывает целесообразнее использовать способ, связанный с геометрическим преобразованием графиков функции.
Пример 1:
Построить график функции y=|x-1|+|x-2|.
Рассмотрим последовательность действий.
1) Найти абсциссы точек «перелома» графика функции. В данном случае используем для этого условия:
x-1=0 x-2=0
x=1 x=2
2)Рассмотреть далее функцию на каждом из полученных промежутков: (-∞; 1); [1;2]; [2;+∞)
Если х<1,то
у=-х+1-х+2,
у=-2х-3.
Если 1≤х<2, то
у=х-1-х+2,
у=1.
Если х≥2,то
у=х-1+х-2,
у=2х-3.
Итак,
-2х+3, если х<1,
У= 1, если 1≤х<2,
2х-3, если x≥2.
{

Графический метод решения некоторых задач с параметрами
На главную
Далее
Назад
Пример1:
Сколько корней имеет
уравнение|x+3|=a?
Решение:
1)Построим в одной системе
координат
графики функций y=|x+3| и y=a.
2) Прямая y=a не пересекает
данный график при a<0,
имеет с ним одну общую
точку при a=0,
имеет с ним две точки
пересечения при a>0.
Ответ: корней нет при a<0,
один корень при a=0,
два корня при a>0.
Одним из наиболее трудных на экзаменах являются задачи, в которых требуется найти все значения параметров, при которых выполнено некоторое условие. Если хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задача не считается решенной полностью. Нельзя дать универсальных указаний по решению задач с параметрами. Но для уравнений и неравенств первой и второй степени с параметрами при заданном условии можно использовать графический метод решения, как наиболее наглядный. Поясним суть этого метода на конкретных примерах.

На главную
Далее
Назад
Пример 2. Найдите число решений уравнения |x²-2x-3|=a,
в зависимости от параметра а.
Решение:
1) Построим график функции y=|x²-2x-3|. (Можно выделить полный квадрат: x²-2x-3=(x-1)²-4).
2) Уравнение |x²-2x-3|=a имеет столько решений, сколько раз прямая y=a пересекает график функции y=|x²-2x-3|.
На рисунке видно, что графики не имеют общих точек, если a<0; имеют две общие точки , если a=0 и a>4; имеют три общие точки, если a=4; четыре точки, если 0
Ответ: корней нет при a<0;
два корня при a=0 и a<4;
три корня при a=4;
четыре корня при 0
y=a
x
y
4

На главную
Далее
Назад
Пример 3: Решить уравнение x|x-4|+a=0.
Решение:
Строим график функции f(x) = -x|x-4|=
-x²+4x, x≥4;
x²-4x, x<4.
При a <-4 уравнение имеет один корень, являющийся большим корнем уравнения -x²+4x=a; x²-4x+a=0, x=2+
При a=-4 уравнение имеет два корня, один из которых х=2, а второй больший корень уравнения -x²+4x=-4, т.е. x=2+2
При -4
При a=0 уравнение имеет два корня: x=0 и x=4.
При a>0 уравнение имеет один корень, являющийся меньшим корнем уравнения x²-4x=a, т.е.x=2- .
Ответ: при a<-4 x=2+ ; при -4≤a≤0 x=2± ,
x=2+ ;при a>0 x=2-
.

Построение графиков «функций», аналитические выражения которых содержат знак модуля, выраженных неявно
На главную
Далее
Назад
Пример 1: Построить график «функции» |x|+|y|=2
1. Построим график функции y= 2-x - график прямая.
2. Далее осуществляем последовательное двукратное отображение графика относительно оси ox, а затем относительно оси oy.

Пример 2: Построить график «функции» |y|=|X2 -4X|
1. Построим график квадратичной функции y=x²-4x - график парабола.
y=(x²-4x+4)-4=(x-2)²-4
Сдвиг на 2 клетки вправо и на 4 вниз.
2. Далее преобразуем данный график путем отображения его относительно оси OX.
На главную
Далее
Назад

На главную
Далее
Назад
Пример 3: Построить график «функции»
(|x|-1)²+(|y|-2)²=4
1. Построим график функции (x-1)+(y-2)=4 –график окружность с центром в точке (1;2) и радиусом 2.
2. Далее преобразуем данный график путем отображения его относительно оси OX, а затем оси OY.

На главную
Далее
Назад
Задание 1: Решить систему уравнений
|x|+|y|=1
|x|+y=1
1. Решим систему уравнений с помощью графика.
2. Построим в одной системе координат графики функции:
а) |y|=1-|x|:
1. Построим график функции y=1-x - график прямая.
2. Далее преобразуем данный график путем
отображения его относительно оси OX, а затем оси OY.
б) y=1-|x|:
1. Построим график функции y=1-x - график прямая.
2. Далее преобразуем данный график путем.
отображения его относительно оси OX.
Ответ: y=1– |x|, где хЄ[-1;1].

На главную
Далее
Назад
Задание 2: Решить систему уравнений
|x-1|+|y-5|=1
y=5+|x-1|
Задание 2:
1. Построим в одной системе координат графики функции:
а) х-1 + у-5 =1:
1. Построим график функции y=7-х - график прямая.
2. Далее преобразуем данный график путем
отображения его относительно оси OX, а затем оси OY.
б) y=5+ х-1 :
1. Построим график функции y=4+х- график прямая
2. Далее преобразуем данный график путем
отображения его относительно оси OX.
Ответ: (1,5 ; 5,5)
(0,5 ; 5,5)

Построение множества точек плоскости, задаваемого соотношениями
На главную
Далее
Назад
Пример 1:
Построить множество точек плоскости, заданных системой неравенств:
0
y>-1
Решение
Построим прямые х=1; х=0; y=-1. Эти прямые служат границами заданного множества.
2)Определяем части плоскости, которые удовлетворяют неравенствам: x>0; x≤1; y>-1.
3) Искомое множество точек показано двойной штриховкой.