Игры с природой. Лекция 2

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1.
Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре.
Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

Задача
Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.

Организация и аналитическое представление игры с природой
Пусть игрок 1 имеет т возможных стратегий: А1, A2 , ... , Аm, а у природы имеется n возможных состояний (стратегий): П1, П2, ..., Пn, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей игрока 1:
Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»).

Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков R = ||rij||m,n или матрицы упущенных возможностей. Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей А.
Риском rij игрока при использовании им стратегии Аi и при состоянии среды Пj будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием среды будет Пj, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.
Зная состояние природы (стратегию) Пj, игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш максимальный, т.е. rij = βj – aij при заданном j. Например, для матрицы выигрышей

Согласно введенным определениям rij и βj получаем матрицу рисков

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состоянии среды (природы), называют «безнадежной» или «дурной».
В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии:
максимакса,
Вальда,
Сэвиджа,
Гурвица.

Критерий максимакса
С его помощью определяется стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего оптимизма. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш, равный .
Нетрудно увидеть, что для матрицы А наилучшим решением будет А1, при котором достигается максимальный выигрыш - 9.
Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».

Максиминный критерий Вальда
С позиций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник типа тех, которые противодействуют в стратегических играх. Выбирается решение, для которого достигается значение
Для платежной матрицы А (3.1) нетрудно рассчитать:
• для первой стратегии (i = 1) ;
• для второй стратегии (i=2) ;
• для третьей стратегии (i=3) .
Тогда W=3 , что соответствует второй стратегии A2 игрока 1.
В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучший (W = 3). Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа
Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А , а матрицей рисков R :
Для матрицы R нетрудно рассчитать:
• для первой стратегии (i=1) ;
• для второй стратегии (i=2) ;
• для третьей стратегии (i=3) .
Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, достигается при использовании первой стратегии А1.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением
При p = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при р = 1 - с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А при р = 0,5:

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оптимизма Гурвица имеет вид:
При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков ( ); при р = 1 - по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

Задача

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Когда состояниям природы поставлены в соответствие вероятности, заданные экспертно либо вычисленные, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожи­даемого среднего риска
Если для некоторой игры с природой, задаваемой платежной матрицей А = ||aij||m,n, стратегиям природы Пj соответствуют вероятности рj, то лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.