Интеграл. Определенный интеграл. Свойства

Определенный интеграл.
Определенным интегралом функции
y=f(x) на [a,b] называется ,
если этот предел существует и не зависит от
способа разбиений [a,b] на и от выбора
точек . Определенный интеграл
обозначается: Числа a и b
называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.

Геометрический смысл определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла.
1. 2.
3. , k-любое число
4.
5.Аддитивность определённого интеграла. Для
любых чисел a,b,c справедливо:

Формула Ньютона-Лейбница.
Если F(x) есть какая-либо первообразная
от непрерывной на [ , ] функции f(x), то
справедлива формула
Ньютона-Лейбница:

Пример.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.

x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на
, где

Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой
циклоиды:x=
(t-sin t), y=
(1-cos t).

Вычисление длины дуги кривой.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) непрерывны на [ , ].