Интегралы. Введение в математический анализ

План вебинара
1)Разбор ДЗ
2) Интегралы:
неопределённые интегралы
определённые интегралы
3) Дифференциальные уравнения

Разбор ДЗ (ФНП). Часть 1.
1. Найти область определения функции.

2. Найти частные производные 1-го порядка функции.

3. Найти полный дифференциал функции в точке (1;1).

4. Исследовать на экстремум функцию
Решение: https://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+calculator&assumption=%7B%22F%22%2C+%22GlobalExtremaCalculator%22%2C+%22curvefunction%22%7D+-%3E%22x%5E2%2Bxy%2By%5E2-6x-9y%22

Приращение функции и приращение аргумента

Интегрирование
по сути, это противодействие дифференцированию.
Знак интегрирования:
SQUARE -> S ->

При интегрировании проверить себя довольно просто: достаточно взять производную от ответа - должна получится функция под интегралом.

Основные правила интегрирования

Весь процесс интегрирования сводится к тому, что необходимо привести подынтегральную функцию к табличному виду.

Метод замены переменной
(по сути, он идентичен внесению под знак дифференциала)

В этом методе важно вернуться к исходной переменной:

Источник:

Интегрируем правую и левую части

Какие интегралы берутся по частям

Дробь правильная
(старшая степень выражения в знаменателе выше степени выражения в числителе)

Для интеграла Римана функция должна быть непрерывна и дифференцируема во всех точках заданного отрезка [a,b] . Для интеграла Лебега таких ограничений нет.
Т.е. интеграл Лебега совпадает с интегралом Римана там, где интеграл Римана существует. При этом интеграл Лебега можно брать и от не дифференцируемых в точке функций. Например, от функции Дирихле.

Интегрирование
по Риману
Интегрирование
по Лебегу

Статьи по интегралам Лебега
Интеграл Лебега: https://mathworld.wolfram.com/LebesgueIntegral.html
Мера Лебега:
https://mathworld.wolfram.com/Measure.html
Пример вычисления интеграла Лебега:
https://demonstrations.wolfram.com/LebesgueIntegration/

Несобственные интегралы
определённые интегралы с особенностями на границах.
Одна из границ -- бесконечность
Особенность на одной из границ интегрирования

Примеры вычисления несобственных интегралов

Дифференциальные уравнения: где применяются.
DSP (Цифровая обработка сигналов)
Computer vision
«Анализ любых экспериментальных данных (зависимости величин) - только диффуры! А это - весь мир». (c, @xmoonlight, https://qna.habr.com/q/149841)

Решение дифференциальных уравнений

Как определить, что ДУ однородное и использовать замену вида
смотрим тут
http://mathprofi.ru/odnorodnye_diffury_pervogo_poryadka.html