Исследование функций и построение графиков

Задание
Записать план исследования функции
Исследовать функцию и построить ее график.

Область определения функции
Определение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, при которых функция определена.
Примеры:
y=ln(x+1)

Четные и нечетные функции
Функция y=f(x) называется четной, если
Функция y=f(x) называется нечетной, если

Периодичные функции
Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что если х принадлежит Df , то х±Т также принадлежит Df и f(x+T)=f(T).

Точки пересечения с осями координат
При исследовании функции необходимо найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох находятся из системы уравнений у=f(x) и у=0, а ординаты точек пересечения графика функции с осью Оу находятся из системы уравнений у=f(x) и х=0.

Непрерывность.
Характер точек разрыва
Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0, если функция определена в точке х0 и предел функции в точке х0 равен значению функции в точке х0.
Функции, непрерывные в каждой точке из области определения функции, называются непрерывными функциями.
Примеры непрерывных функций: y=cosx, y=sinx, y=ex , y=Pn(x) (многочлен степени n).

Точки разрыва функции
Определение. Точкой разрыва функции называется точка из области определения функции, в которой функция не является непрерывной.
Пример. Функция
разрывна в 0, так как

Классификация точек разрыва
Точки устранимого разрыва
Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но не равные значению функции в точке х0, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.

Классификация точек разрыва
Точки скачка
Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между собой, то точка х0 называется точкой скачка (точкой разрыва I рода).

Классификация точек разрыва
Точки разрыва II рода
Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х0 не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода.

Вертикальные асимптоты
Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции при , если
или

Наклонные асимптоты
Если существует прямая y=kx+b такая, что
, то эта прямая называется
асимптотой графика функции f при
.
Для того чтобы прямая y=kx+b была асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
,
.

Экстремумы функции
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (а, b). Точка х0 интервала (а, b) называется точкой строгого максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой проколотой окрестности точки х0 f (x)< f (x0) ( f (x) > f (x0) ).
Точки минимума и точки максимума функции называются точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Пусть точка х0 - точка экстремума функции. Тогда либо производная функции в этой точке равна 0, либо не существует.

Исследование функции на монотонность
Критические точки функции х=±1. f '(x)>0 при х<-1 и при х>1; f '(x)<0 при -1
функция возрастает
функция убывает
Известно, что если f '(x)>0 (f '(x)>0) в (а, b), то функция f (x) строго возрастает (строго убывает) в (а, b).
Рассмотрим функцию f(x) = x + 1/x

Выпуклость функции
Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), называется выпуклой вверх (вниз) в интервале (а, b), если для любых х1и х2 из интервала (а, b) из того, что х1<х2, следует, что часть графика функции между точками (х1,f(х1)) и (х2,f(х2)) лежит выше (ниже) хорды, соединяющей эти точки.

Выпуклость функции.
Точки перегиба
Если график функции в точке (х0, f(x0)) переходит с одной стороны касательной на другую, то точка х0 называется точкой перегиба функции f(x).
Также говорят, что график функции f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба
Достаточное условие строгой выпуклости функции
Если на интервале (а,b) f ''(x)>0, то на интервале (а,b) функция выпукла вниз, и если на интервале f ''(x)<0, то
на интервале (а,b) функция выпукла вверх.
Достаточное условие строгой выпуклости функции
Если в левой и правой полуокрестностях некоторой точки х0 f ''(x) имеет противоположные знаки, то точка х0 – точка перегиба функции.

Пример. Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график.
D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.
Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.
Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

Будем искать наклонные асимптоты в виде
y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле: при имеем
так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при .
При имеем:

Теперь найдём значение b по формуле .
Имеем:
Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox.
Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox.
Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение (x2 – 2x)ex =0.
Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2.
Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала
знакопостоянства функции: , и .

Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)<0 при .
Вычислим производную:
Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество
На этих двух интервалах функция возрастает.
Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка -√2 - точка локального максимума.

Значение функции в этой точке равно
В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 - точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:
Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:
Эскиз графика функции f(x)

Становится очевидно, что область значений функции -- это
По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:
Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0.
Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.