Комбинаторики. Вероятность

Комбинаторика и вероятность.
В теории вероятности ключевым понятием является случайность, понятие довольно таки абстрактное. Казалось бы, если некоторое событие случайно, то, как и что для него можно подсчитать, но все таки некоторые закономерности существуют и так же существуют числовые характеристики для этих событий и способы вычислений.
Случайное событие, в рамках конкретной задачи может быть абсолютно любым. Выпадение орла или решки при подбрасывании монетки, выпадение стороны кубика, вытаскивание какой либо карты из колоды, вызов такси и приезд какой либо марки машины, падение метеорита на какой либо участок территории и многое другое. Случайное событие мы вправе выбирать сами, но строго в рамках конкретной задачи.

Комбинаторика и вероятность.
Давайте разберем, как формулы комбинаторики помогают при вычислении вероятности событий. Чтобы глубоко не углубляться в определения и правила, рассмотрим несколько примеров.
Отметим, что при решении вероятностных задач, первоначально следует определить, сколько всего исходов возможно в рамках данной задачи, то есть все пространство исходов данной задачи.

Комбинаторика и вероятность.
Пример. Из колоды карт (36 карт) случайным образов вытаскивают 4 карты. Найти вероятность того: а) король червей не попался б) вытащили короля червей.
Решение. Сначала нам нужно определить, сколько всего исходов. В колоде 36 карт, из которых случайным образом выбирается 4 карты. Нам надо найти количество выборов карт из 36 по 4 штук, это количество перестановок без повторений элементов. То есть
а) Король червей не попался – то есть попалась любая другая карта. Благоприятных нам карт осталось 35, то есть нам надо найти количество комбинаций из 35 карт по 4 вытащенным картам, без повторений среди вытащенных карт. Используя формулы комбинаторики:
Найдем вероятность, используя классическую формулу:

Комбинаторика и вероятность.
б) В этом пункте нас просят найти вероятность события, обратного событию предыдущей задачи. Так как сумма вероятностей противоположным событий равна 1, тогда нам будет проще вычислить вероятность следующим образом:

Комбинаторика и вероятность.
Пример. В урне лежат красные и синие шары. Известно, что красных шаров 8 штук, а синих 5 штук. Случайным образом вытаскивают 3 шара, найдите вероятность следующих случайных событий:
а) Среди вытащенных шаров ровно 2 синих.
б) Среди вытащенных шаров не меньше одного красного.
в) Синих шаров вытащили больше красных.
Решение.
Определим, для начала, сколько всего исходов возможно в рамках данной задачи. Всего у нас получается 8 красных плюс 5 синих, итого 13 шаров. Так как вытаскивают 3 шара, то нам надо найти все возможные комбинации 3 шаров из 13 данных. При вытаскивании шары не кладутся обратно, то есть повторений у нас не возможно, тогда нам надо найти количество комбинаций из 13 шаров по 3 без повторений. Используя известную формулу:
И так всего у нас возможно 286 комбинаций, перейдем к решению конкретных пунктов данной задачи.

Комбинаторика и вероятность.
а) Мы вытаскиваем 3 шара, причем из них должно оказаться ровно 2 синих, и как следствие 1 красный шар. Количество комбинаций для синих шаров тогда , и для красных . Используя правило умножения можно найти количество благоприятных нам комбинаций m.
Используем классическое определение вероятности:

Комбинаторика и вероятность.
б) Посмотрим внимательно на условие: Среди вытащенных шаров не меньше одного красного. Это значит, что нам благоприятны следующие случаи: вытащен один красный шар, вытащено два красных шара, и вытащено 3 красных шара.
В данной задаче нам будет проще найти вероятность противоположного события требуемому, то есть вероятность того, что было вытащено менее одного красного шара – все шары синие. Найдем данную вероятность, количество комбинаций 3 синих шаров из 5:
Вероятность, что все вытащенные шары синие:
Тогда вероятность того, что среди вытащенных шаров не меньше одного красного:

Комбинаторика и вероятность.
в) Вероятность того, что синих шаров вытащили больше чем красных означает, что было вытащено либо 2 синих шара и 1 красный- событие А, либо все 3 шара синие – событие В.
Тогда нам надо найти вероятность события С состоящего из суммы событий А и В.
Обратим внимание, что указанная выше формулы справедлива только для независимых событий А и В, случай когда события зависимы мы разберем на следующем уроке.
Вероятность события А мы уже подсчитали в пункте а) данной задачи.
Вероятность события B мы уже подсчитали в пункте б) данной задачи.
Осталось сложить требуемые вероятности и получить ответ:
Ответ: а) 0.28 б) 0.965 в) 0.315

Комбинаторика и вероятность.
В конце урока отметим, что вероятностные задачи решать тяжелее, чем просто комбинаторные. В процессе решения нам следует выделить следующие пункты:
а) Определить все возможные исходы, в рамках данной задачи.
б) Найти количество всех этих исходов, или комбинаций всех возможных исходов.
в) Определить благоприятные исходы для данной задачи.
г) Найти количество благоприятных исходов, или их комбинаций.
д) Найти вероятность требуемого события.
Получается, что решение задачи состоит из 5 пунктов, ребята не забывайте эти пункты и решение окажется не таких и сложным.