Касательная плоскость к сфере

подробно рассмотрим случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы
сформулируем и докажем свойство и признак касательной плоскости к сфере
поговорим о прямой касательной к сфере
Сегодня на уроке:

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром сферы.
Данное расстояние – радиусом сферы.
радиус

В зависимости от соотношения расстояния от центра сферы до плоскости и радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве:
Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сфера и плоскость пересекаются по окружности.
Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Определение. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
касательная плоскость к сфере
точка касания

Определение. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Теорема (свойство касательной плоскости к сфере). Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Доказательство.
Теорема доказана.
Тогда OA – это кратчайшее расстояние от точки до плоскости.

Обратная теорема (признак касательной плоскости к сфере).
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Доказательство.
Что и требовалось доказать.
Радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости.
Следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Решение.

Решение.
В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Определение. Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.
Касательная прямая имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.
Радиус, проведенный в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой.
Прямая, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.

Отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Решение.