Тригонометрия. Базовые тригонометрические функции синус, косинус

Тригонометрия (греч.) – измерение треугольника
Почему в геодезии (и в классической геометрии) большое внимание уделяется измерению именно треугольников?
Ответ
?

Наиболее распространены следующие определения синуса и косинуса:
По тригонометрическому кругу. Хорошо подходит для определения ограничений и знаков этих функций, изменения их значения по четвертям осей координат.
По соотношению сторон прямоугольного треугольника. Служит основой решения практических задач в геодезии, широко применяется в работе с системами координат.

Тригонометрический круг – это:
окружность с центром, совпадающим с началом координат (пересечением осей абсцисс – ОХ и ординат – ОУ), и имеющая радиус, равный единице;
радиус-вектор этой окружности, создающий с положительным направлением оси ОХ (абсцисс) угол от 0 до 360 градусов (по четвертям: 0…90 - первая, 90…180 – вторая, 180…270 – третья, 270-360 – четвертая четверти);
точка касания этого радиус-вектора с окружностью, чьи прямоугольные проекции на оси и формируют значения косинуса и синуса данного угла.

У
X
α
УА
(sin α)
XА
(cos α)
1
1
-1
-1
0
А

Таким образом,
косинус – проекция на ось ОХ (абсцисс);
синус – проекция на ось ОУ (ординат).
Выводы(полезны для перепроверок):
и синус, и косинус не могут быть по модулю больше единицы (а при каких значениях угла равны единице и нулю?);
и синус, и косинус – безразмерные единицы.
Назад

Знаки косинуса и синуса угла
в зависимости от четверти (направления движения)
X
Y
I
IV
III
II
+
-
+
-
+
+
-
-

Прежде, чем перейти к определениям синуса и косинуса по соотношению длин сторон прямоугольного треугольника, напоминаем, что в любом треугольнике АВС существуют принятые обозначения углов
А, В, С
и длин противолежащих им сторон - соответственно
a,b,c.
Решить треугольник – значит найти А,В,С,a,b,c.

A
B
C
a
b
c

A
B
C
a
b
c
В прямоугольном треугольнике
(с – гипотенуза,
a, b – катеты):

синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
косинус угла – это отношение прилежащего катета
к гипотенузе.
sin A = a / c
sin B = b / c
cos A = b / c
cos B = a / c

Определения синуса и косинуса
по соотношению катетов и гипотенузы в геодезии и картографии применяют
в двух основных случаях:

1. Когда проводят работу с прямоугольными системами координат (например, с Декартовой системой, рассматриваемой в курсе «школьной» алгебры, и с Гауссовой системой, на которой базируется геодезия)

2. Когда имеют дело с перпендикулярными проекциями на различные плоскости (например, с горизонтальным проложением). Так, расстояния на картах (планах) местности приводят именно в горизонтальном проложении, без учета спусков и подъемов

Какое расстояние больше ???
с подъемами и спусками?
или горизонтальное проложение?

Задача 1.
Расстояние между пунктами А и В по карте составляет 1800 км, средний подъем трассы 5 градусов. Каково расстояние в натуре (т.е. реальное)?
Задача 2.
Расстояние между пунктами А и В по трассе составляет 1400 км, средний подъем трассы 6 градусов. Каково расстояние между А и В по карте?
Задача 3.
Альпинисты поднялись на высоту 4800 м. Какое расстояние они преодолели (в натуре и по карте), если крутизна подъема в среднем составила 60 градусов?